问题描述最大子段和问题：蛮力、递归及动态规划

最新推荐文章于 2022-08-19 22:24:13 发布

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本文详细介绍了求解最大子段和问题的四种算法：蛮力算法、改进的蛮力算法、分治递归算法和动态规划算法。通过对比不同算法的实现代码和时间复杂度，帮助读者理解并掌握高效解决最大子段和问题的方法。

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问题描述

求一个序列的最大子段和即最大连续子序列之和。例如序列[4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2]的最大子段和为11=[4+(-3)+5+(-2)+(-1)+(2)+(6)]。

1. 蛮力算法

思想：从序列首元素开始穷举所有可能的子序列。
代码示例(C++):

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubsequenceSum(const int array[], int n)
{
    int tempSum, maxSum;
    maxSum = 0;
    for (int i = 0;i < n;i++)       // 子序列起始位置
    {
        for (int j = i;j < n;j++)   // 子序列终止位置
        {
            tempSum = 0;    
            for (int k = i;k < j;k++)   // 子序列遍历求和
                tempSum += array[k];
            if (tempSum > maxSum)       // 更新最大和值
                maxSum = tempSum;
        }
    }
    return maxSum;
}

int main()
{
    const int a[] = { 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 };
    int maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, 8);
    cout << "The max subsequence sum of a is: " << maxSubSum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

算法复杂度为O(n3)O(n3)

2. 改进的蛮力算法

思想：直接在划定子序列时累加元素值，减少一层循环。
代码示例(C++):

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubsequenceSum(const int array[],int n)
{
    int tempSum, maxSum;
    maxSum = 0;
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        tempSum = 0;
        for (int j = i;j < n;j++)
        {
            tempSum += array[j];
            if (tempSum > maxSum)
                maxSum = tempSum;
        }
    }
    return maxSum;
}

int main()
{
    const int a[] = { 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 };
    int maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, 8);
    cout << "The max subsequence sum of a is: " << maxSubSum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

算法复杂度为O(n2)O(n2)

3. 分治递归的算法

思想：将序列划分为左右两部分，则最大子段和可能在三处出现：左半部、右半部以及跨越左右边界的部分。递归的终止条件是：left == right。
代码示例：

#include<iostream>
using namespace std;
int max3(int a, int b, int c)           // 求三个数的最大值
{
    int max = a;
    if (b > max)
        max = b;
    if (c > max)
        max = c;
    return max;
}

int MaxSubsequenceSum(const int array[], int left, int right)   
{
    if (left == right)          // 设置基准，即递归终止条件
        return array[left];

    int middle = (left + right) / 2;

    int leftMaxSubsequenceSum = MaxSubsequenceSum(array, left, middle);     // 求左半部分最大子序列和
    int rightMaxSubsquenceSum = MaxSubsequenceSum(array, middle + 1, right);    // 求右半部分最大子序列和

    // 处理左右边界问题：最大子序列跨越中间，包含左半部分最右一个数，同时包含右半部分最左一个数
    int maxLeftBorderSum = 0;   
    int maxRightBorderSum = 0;  
    int tempSum = 0;        // 临时求和变量
    for (int i = middle;i >= left;i--)
    {
        tempSum += array[i];
        if (tempSum > maxLeftBorderSum)
            maxLeftBorderSum = tempSum;     // 左边包含边界最大序列和
    }
    tempSum = 0;
    for (int i = middle + 1;i < right;i++)
    {
        tempSum += array[i];
        if (tempSum > maxRightBorderSum)
            maxRightBorderSum = tempSum;    // 右边包含边界最大序列和
    }

    int maxBorderSum = maxRightBorderSum + maxLeftBorderSum;        // 最大边界子序列和等于两部分边界之和
    return max3(leftMaxSubsquenceSum, maxBorderSum, rightMaxSubsquenceSum);         // 返回三个部分的最大子序列和
}

int main()
{
    const int a[] = { 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 };
    int maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, 0, 7);
    cout << "The max subsequence sum of a is: " << maxSubSum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

算法复杂度分析：假设求解NN个元素序列的最大子问题的时间复杂度为T(N)T(N)，则T(N)T(N)满足：

T(N)=2T(N/2)+O(N)T(N)=2T(N/2)+O(N)
且T(1)=1T(1)=1，其中，T(N/2)T(N/2)表式分治后的左右两边求解复杂度，O(N)O(N)为求解跨越左右边界的最大子段和的开销。求解该递推公式得递归算法复杂度为T(N)=O(NlogN)T(N)=O(Nlog⁡N)
递归算法的基本准则：
(1) 基准情形：存在最小子问题的解，也称为递归终止的条件。
(2) 不断推进：每一次递归调用都要使得求解状况不断地朝基准情形方向推进。
(3) 设计法则：假设所有递归调用都能运行。
(4) 合成效益法则：在求解一个问题的同一实例式，要避免在不同的递归调用中做重复的工作。如：递归求斐波那契数就是一个不好的例子。

4. 动态规划的算法

原问题：考虑最大子段和原问题：给定nn个数(可以为负数)的序列(a1,a2,...,an)(a1,a2,...,an)，求max{0,max1≤i≤j≤n∑jk=iak}max{0,max1≤i≤j≤n∑k=ijak}
子问题界定：设前边界为1，后边界为ii，且C(i)C(i)是子序列A[1,..i]A[1,..i]必须包含元素A[i]A[i]的向前连续延伸的最大子段和：
C[i]=max1≤k≤i{∑j=kiA[j]}C[i]=max1≤k≤i{∑j=kiA[j]}

这里写图片描述

递推方程满足：
C[i]=max{C[i−1]+A[i], A[i]}i=2,...,nC[1]={A[1] ifA[1]>00 ifA[1]<0 C[i]=max{C[i−1]+A[i], A[i]}i=2,...,nC[1]={A[1] ifA[1]>00 ifA[1]<0
遍历所有以i (1≤i≤n)i (1≤i≤n)为后边界的最大子段和CiCi得出最优解：
OPT(A)=max1≤i≤n{Ci}OPT(A)=max1≤i≤n{Ci}
代码示例：

#include<iostream>
using namespace std;

int MaxSubsequenceSum(const int A[], int n)
{
    int tempSum = 0;
    int maxSum = 0;
    for (int j = 0;j < n;j++)   // 子问题后边界
    {
        tempSum = (tempSum + A[j]) > A[j] ? (tempSum + A[j]) : A[j];
        if (tempSum > maxSum)   // 更新最大和
            maxSum = tempSum;

    }
    return maxSum;
}

int main()
{
    const int a[] = { 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 };
    int maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, 8);
    cout << "The max subsequence sum of a is: " << maxSubSum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}