学习什么是“线性相关性”,“线性无关”,什么是由向量组所“生成”的空间,什么是向量空间的“基”,什么是子空间的“维数”。
由上一讲可知: Ax=b A x = b ,其中 Am,n A m , n 。则 Ax=0 A x = 0 存在非0解,因为A消元后存在自由列。
1.向量组线性相关性
线性无关的定义:若向量作为列向量构成矩阵A,则方程Ax = 0只有零解x = 0.反之,则称为线性相关。对于矩阵中列的线性相关性,如果零空间N(A)里存在非零向量,那么各列相关例如:假设二维空间中,任意三个不共线的向量必,因为由上面的背景知识可知,这三个向量组成的矩阵甲是 m<n m < n 的。
2.向量组的“张成”的空间
在第五讲中叙述了向量空间的基本定义。而“张成”的定义则可这样认为:当一个空间是由向量的所有,我们称这些向量张成了这个空间。如果向量张成空间S,则小 是包含这些向量组合的最小空间。
3.基与维数
从上面2的“张成”的概念中可以得出基的概念,它包含向量的个数不多不少,向量空间的一组基是指:一系列的向量,V1,V2 … VD,这些向量具有两大性质:1)他们是线性无关的,可逆; 2)他们生成整个空间比如:三维空间中,单位阵是最明显的一个基,除此之外,还有很多其他的基,比如向量[1,1,2],[2,2,5]生的英文分类中翻译二维平面的一组基,再加上一个向量[3,4,8]就是三维空间的一组基。这些基有一个共同的特点,即对于给定ñ维空间,那么基向量的个数就是N个(即不管是维空间,列空间,还是零空间,空间中等意基都满足:基向量的个数相等)。
4.维数,即基向量的个数。
比如上面这个列向量,他们能生成列空间,但这些列向量不是基,但我们可以得到第一列和第二列是列空间的一(A)= 2为列空间的维数(注意不是矩阵的维数,是阿的列空间的维数,同样,不能说子组合,2是基的维数。即上面:矩阵的秩次空间的秩数,矩阵才有数数)。考虑零空间N(A),求解组Ax = 0,[ - 1,-1,1,0]就是一个解,令一个特殊解为[-1, 0,0,1]。零空间的维数是多少?选择自由变量赋予特殊值,得到的向量组合是0空间,零空间中的向量告诉我们,这样组合列向量会得零空间,这些列才会性相关。
零空间的维数是自由变量的数目。已知矩阵Am×n,秩为r,那么自由变量为nr,即dim(N(A))= nr