容斥原理

基本原理

• 列出题目中的n个条件。
• 求满足这n个条件中每一个的方案的个数。
• 枚举这些条件的所有2^n个集合。
• 考虑一个集合x，令不满足x中所有条件的方案有A个。
• 如果x的大小是奇数，给答案减去A，不然给答案加上A。

欧拉函数

• 求1~n之间与n互质的数的个数
• 对不合法的数进行容斥
• 假设有三个质因子$p1,p2,p3$
  $$ans=n-\frac{n}{p1}-\frac{n}{p2}+\frac{n}{p1\ast p2}$$
• 对于所有数，令它的因子集合为[p]
  $$ans=\sum _{S\subseteq [p]}(-1{)}^S\cdot n\cdot \prod _{i\subseteq S}\frac{1}{pi}=n\prod _{i\subseteq [p]}(1-\frac{1}{pi})$$

经典题目

N个变量xi，每个变量满足$0<=x_i<=C_i$，求$\sum x=A$的解的数量，$N<=10，A<=1e9，C_i<=1e9$

• 对不合法的xi进行容斥
• 枚举限制爆了的集合
  $$ans=\sum _S(-1{)}^S\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{A-{\sum }_{i\subseteq S}^{}(C_i+1)+n-1}{n-1})$$

$N$个变量$x_i$，每个变量满足$0<=x_i<=C_i$，求$\sum x=A$的解的数量，$N<=200，A<=200，C_i<=200$

• 通过上面的公式
  $$ans=\sum _S(-1{)}^S\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{A-{\sum }_{i\subseteq S}^{}(C_i+1)+n-1}{n-1})$$
• 我们可以把${\sum }_{i\subseteq S}^{}(C_i+1)$相同的放到一起算
• 可以看成有N个物品，每个体积是$(C_i+1)$价值为$-1$，背包容量是$A$
• $dp[i][j]$表示现在考虑到第i个数，${\sum }_{i\subseteq S}^{}(C_i+1)=j$时，$dp[i][j]=\sum (-1{)}^S$
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j]-dp[i-1][j-C_i-1]$$
  $$ans=\sum _{i=0}^{A}dp[n][i]\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A-i+n-1}{n-1}\right)$$

$N$个变量$x_i$，每个变量满足$0<=x_i<=C_i$，求$\sum x=A$的解的数量，$N<=32，A<=1e9，C_i<=1e9$

• $meet$ $in$ $middle$
• 可以分成两组，每组大小为 $N/2$
• $a[j],v[j]$表示第一组${\sum }_{i\subseteq S}^{}(C_i+1)=a[j]$时，$v[j]=\sum (-1{)}^S$
• $b[j],w[j]$表示第二组${\sum }_{i\subseteq S}^{}(C_i+1)=b[j]$时，$w[j]=\sum (-1{)}^S$
  $$ans=\sum _{i,j}^{a[i]+b[j]⩽A}v[i]\cdot w[j]\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A-a[i]-b[j]+n-1}{n-1}\right)$$
  $$ans=\sum _{i,j}^{a[i]+b[j]⩽A}\sum _{k=0}^{n-1}v[i]\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A-a[i]+n-1}{k}\right)\cdot w[j]\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-b[j]}{n-1-k}\right)$$
  $$ans=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i,j}^{a[i]+b[j]⩽A}v[i]\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A-a[i]+n-1}{k}\right)\cdot w[j]\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-b[j]}{n-1-k}\right)$$
• 枚举$a_i$，此时$a[i]+b[j]<=A$就变成了$b[j]<=A-a[i]$，对$b[j]$进行前缀和计算，就可以在内计算出答案

$N$个变量$x_i$，每个变量满足$0<=x_i<=C_i$，当$A=\lfloor \frac{\sum Ci}{2}\rfloor$时，$\sum x=A$的解的数量最多。