Ogre的四元数quaternion

quaternion是一个标量和一个3D向量的组合。q={ w,x,y,z},Ogre中一个默认的quaternion ={1,0,0,0} ,一般用于空间一点的旋转,假设空间一点叫p,将要旋转角度是α,旋转轴是(x,y,z),那么:

p={0,x0,y0,z0}

q= {cos(α/ 2) , sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz } (N为单位向量)

p结果 =q*p*q^-1

在数学上，quaternion表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位,而复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。这也是OGRE为什么要用quaternion的原因(比Matrix更快捷更节省空间),对最简单的二维复数p= x + yi来说，和另一个q = ( conα，sinα)相乘，则表示把p沿逆时针方向旋转α：p’ = pq ,这是2D旋转.

如果要表示3D旋转,就需要3D复数了,于是就有了”四元数”,q=w+ix+jy+kz (i,j,k都是虚数)

其中j,j,k关系如下:

i² = j² = k² = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k
四元数加法:
q₁ + q₂ = (w₁+w₂) + (x₁+x₂) i + (y₁+y₂) j + (z₁+z₂) k
四元数乘法:
q₁ * q₂ =
(w₁*w₂ – x₁*x₂ – y₁*y₂ – z₁*z₂) +
(w₁*x₂ + x₁*w₂ + y₁*z₂ – z₁*y₂) i +
(w₁*y₂ – x₁*z₂ + y₁*w₂ + z₁*x₁) j +
(w₁*z₂ + x₁*y₂ – y₁*x₂ + z₁*w₂)    k

OGRE源代码里这样定义乘法:

Quaternion Quaternion::operator* (const Quaternion& rkQ) const
{
// cases p*q != q*p.

return Quaternion
(
w * rkQ.w – x * rkQ.x – y * rkQ.y – z * rkQ.z,
w * rkQ.x + x * rkQ.w + y * rkQ.z – z * rkQ.y,
w * rkQ.y + y * rkQ.w + z * rkQ.x – x * rkQ.z,
w * rkQ.z + z * rkQ.w + x * rkQ.y – y * rkQ.x
);
}

 

原文地址：http://www.beyondc.cn