Ogre 的 四元数quaternion

quaternion是一个标量和一个3D向量的组合。q={ w,x,y,z},Ogre中一个默认的quaternion ={1,0,0,0} ,一般用于空间一点的旋转,假设空间一点叫p,将要旋转角度是α,旋转轴是(x,y,z),那么:

p={0,x0,y0,z0}

q= {cos(α/ 2) , sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz } (N为单位向量)

p结果 =q*p*q^-1

在数学上，quaternion表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位,而复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。这也是OGRE为什么要用quaternion的原因(比Matrix更快捷更节省空间),对最简单的二维复数p= x + yi来说，和另一个q = ( conα，sinα)相乘，则表示把p沿逆时针方向旋转α：p’ = pq ,这是2D旋转.

如果要表示3D旋转,就需要3D复数了,于是就有了"四元数",q=w+ix+jy+kz (i,j,k都是虚数)

其中j,j,k关系如下:

   i² = j² = k² = -1
   i * j = k = -j * i
   j * k = i = -k * j
   k * i = j = -i * k

四元数加法:
q₁ + q₂ = (w₁+w₂) + (x₁+x₂) i + (y₁+y₂) j + (z₁+z₂) k
四元数乘法:
q₁ * q₂ =
(w₁*w₂ - x₁*x₂ - y₁*y₂ - z₁*z₂) +
(w₁*x₂ + x₁*w₂ + y₁*z₂ - z₁*y₂) i +
(w₁*y₂ - x₁*z₂ + y₁*w₂ + z₁*x₁) j +
(w₁*z₂ + x₁*y₂ - y₁*x₂ + z₁*w₂)    k

OGRE源代码里这样定义乘法:

Quaternion Quaternion::operator* (const Quaternion& rkQ) const
    {
        // cases p*q != q*p.

        return Quaternion
        (
            w * rkQ.w - x * rkQ.x - y * rkQ.y - z * rkQ.z,
            w * rkQ.x + x * rkQ.w + y * rkQ.z - z * rkQ.y,
            w * rkQ.y + y * rkQ.w + z * rkQ.x - x * rkQ.z,
            w * rkQ.z + z * rkQ.w + x * rkQ.y - y * rkQ.x
        );
    }