【DP计划】10.26——[UOJ]CTSC2017吉夫特 （Lucas定理+子集DP）“HARD”？？

题目描述

简单的题目，既是礼物，也是毒药。

B 君设计了一道简单的题目，准备作为 gift 送给大家。

输入一个长度为 n 的数列 a1,a2,⋯,an​ 问有多少个长度大于等于 2 的不上升的子序列满足：

${\prod }_{i=2}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_1}}{a_{b_2}}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_2}}{a_{b_3}}\right)\times \cdots \times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_{k-1}}}{a_{b_k}}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2>0$

输出这个个数对 1000000007 取模的结果。

G 君看到题目后，为大家解释了一些基本概念。

我们选择任意多个整数 bi 满足
$1\le b_1<b_2<\cdots <b_{k-1}<b_k\le n$

我们称 ab1,ab2,…,abk 是 a 的一个子序列。

如果这个子序列同时还满足$a_{b_1}\ge a_{b_2}\ge \cdots \ge a_{b_{k-1}}\ge a_{b_k}$

我们称这个子序列是不上升的。

组合数$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ 是从 n 个互不相同的元素中取 m 个元素的方案数，具体计算方法如下：
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n\times (n-1)\times \cdots \times 2\times 1}{(m\times (m-1)\times \cdots \times 2\times 1)((n-m)\times (n-m-1)\times \cdots \times 2\times 1)}$

这里要特别注意，因为我们只考虑不上升子序列，所以在求组合数的过程中，一定满足$n\ge m$也就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}}\right)$中一定有$a_{b_{i-1}}\ge a_{b_i}$

我们在这里强调取模$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y$的定义 $x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y=x-\lfloor \frac{x}{y}\rfloor \times y$ 其中 $\lfloor n\rfloor$表示小于等于 n 的最大整数。

$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2>0$就是在说x是奇数。

与此同时，经验告诉我们一个长度为 nn 的序列，子序列个数有$O(n^2)$个，所以我们通过对答案取模来避免输出过大。

B 君觉得 G 君说的十分有道理，于是再次强调了这些基本概念。

最后，G 君听说这个题是作为 gift 送给大家，她有一句忠告。

“Vorsicht, Gift!”

“小心……剧毒！”

输入输出格式
输入格式：

第一行一个整数 n。

接下来 n 行，每行一个整数，这 n 行中的第 i 行，表示 ai。

输出格式：

一行一个整数表示答案。

输入输出样例
输入样例#1：

4
15
7
3
1

输出样例#1：

11

说明

• 对于前 10% 的测试点， n ≤ 9, 1 ≤ ai ≤ 13；

• 对于前 20% 的测试点， n ≤ 17, 1 ≤ ai ≤ 20；

• 对于前 40% 的测试点， n ≤ 1911, 1 ≤ ai ≤ 4000；

• 对于前 70% 的测试点， n ≤ 2017；

• 对于前 85% 的测试点， n ≤ 100084；

• 对于 100% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 211985, 1 ≤ ai ≤ 233333。所有的 ai 互不相同，也就是说不存在 i, j 同时满足 1 ≤ i < j ≤ n 和 ai = aj。

---

先找性质，要求满足

${\prod }_{i=2}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_1}}{a_{b_2}}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_2}}{a_{b_3}}\right)\times \cdots \times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_{k-1}}}{a_{b_k}}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2>0$

如果$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=1$，那么我们根据Lucas定理,由于$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)=1,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)=1,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=1,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)=0$，所以不存在$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$，那也就是说a_bi-1&a_bi=a_bi-1，也就是说右边的数在左边的数的子集里。

于是就有了做法，子集DP，这道题就是子集DP。这道题就是简单的枚举子集，我们知道枚举子集的复杂度为$3^n$。我们对于每个$a_i$，枚举它的子集，然后如果子集中有在序列中位于其右边的数，那么就将答案统计上去。复杂度我也不是特别会证，反正复杂度就是O（跑得过）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int read(){
	char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
	while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
const int MD=1e9+7;
int n,a[220000],p[240000];
ll ans,sum[240000];
int calc(int x){
	if(sum[x]) return sum[x];
	int res=0;sum[x]=1;
	for(int i=x;i;i=(i-1)&x){
		if(i==x||!p[i]) continue;
		if(p[i]>p[x]) (res+=calc(i))%=MD;
	}
	(sum[x]+=res)%=MD;
	return sum[x];
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),p[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) (ans+=calc(a[i]))%=MD;
	printf("%lld",(ans-n+MD)%MD);
	return 0;
}