数值分析复习（四）——多项式插值与函数逼近

四、多项式插值与函数最佳逼近

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，且已知在点 $a\le x_0<x_1<\cdots <x_n\le b$ 上的值 $f(x_0),f(x_1),\cdots ,f(x_n)$, 若存在一个次数不超过 $n$ 的多项式 $p_n(x)$, 使

$$p_n(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2,\cdots ,n)(1.1)$$
成立，则称 $p_n(x)$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 次插值多项式, 式 $(1.1)$ 为插值条件，点 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 称为插值节点，称 $f(x)$ 为被插值函数

• 满足插值条件 $(1.1)$ 的 $n$ 次多项式 $p_n(x)$ 是存在唯一的

Lagrange 插值多项式及余项表示

• 📖Lagrange 插值多项式： $L_n(x)={\sum }_{k=0}^{n}f(x_k)l_k(x)={\sum }_{k=0}^{n}f(x_k){\prod }_{i=0,i\ne k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$
• $l_0(x),l_1(x),...,l_n(x)$ 线性无关，它是 n 次多项式空间 $P_n$ 的一组基，而 $1,x,x^2,...,x^n\text{1,x,x2,...,xn}1,x,x^2,...,x^n$ 也是其一组基。$l_0(x),l_1(x),...,l_n(x)$ 称为 $n$ 次 Lagrange 插值基函数
• 插值多项式余项：$R_n(x)=f(x)-L_n(x)$
• 📖设 $f^{(n)}(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f^{(n+1)}(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在，$x_0,x_1,...,x_n\in [a,b]$ 为互异节点，$L_n(x)$ 是满足 $p_n(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2,...,n)$ 的插值多项式，则对 $\forall x\in [a,b]，\exists \xi \in (a,b)(\xi$ 依赖于 $x)$，使得

Rn(x)=f(x)−Ln(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!∏i=0n(x−xi)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x)ξ=ξ(x)∈(min⁡{x0, x1, ⋯ , xn}, max⁡{x0, x1, ⋯ , xn}) R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x) \\ \xi = \xi(x) \in (\min\{ x_0,\ x_1,\ \cdots,\ x_n \},\ \max\{ x_0,\ x_1,\ \cdots,\ x_n \}) Rn​(x)=f(x)−Ln​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​i=0∏n​(x−xi​)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​ωn+1​(x)ξ=ξ(x)∈(min{x0​, x1​, ⋯, xn​}, max{x0​, x1​, ⋯, xn​})

• $\xi$ 一般不能求出，因此只能估计误差
• Lagrange 插值的缺点：当节点增加或减少时，插值多项式 $L_n(x)$ 将发生变化，计算不变

例题

例1：已知函数 $f(x)=\sin x,x\in [0,\pi ]$，以 $x_0=0，x_1=\frac{\pi }{2}，x_2=\pi$ 为插值节点，求 $f(x)$ 的 2 次插值多项式 $L_2(x)$。

解：由 Lagrange 插值多项式知
$$\begin{array}{rl}{L}_2(x)& =f(0)\frac{(x-\frac{\pi }{2})(x-\pi )}{(0-\frac{\pi }{2})(0-\pi )}+f(\frac{\pi }{2})\frac{(x-0)(x-\pi )}{(\frac{\pi }{2}-0)(\frac{\pi }{2}-\pi )}+f(\pi )\frac{(x-0)(x-\frac{\pi }{2})}{(\pi -0)(\pi -\frac{\pi }{2})}\\ & =-\frac{4}{{\pi }^2}x(x-\pi )\end{array}$$

例2：设函数
$$f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$$
的函数值已造成函数表。假设在区间 [4, 6] 上用线性插值计算 $f(x)$ 的近似值，问会有多大的误差？

解：在 [4, 6] 上作 $f(x)$ 的线性插值多项式 $p_1(x)$，则
$$\begin{array}{rl}{R}_1(x)& =f(x)-p_1(x)=\frac{1}{2}{f}^{{}^{\prime \prime }}(\xi )(x-x_0)(x-x_1),\xi \in [4,6]\\ f(x{)}^{{}^{\prime }}& =\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}\\ f(x{)}^{{}^{\prime \prime }}& =-\frac{4x}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}\\ f(x{)}^{{}^{\prime \prime \prime }}& =\frac{4}{\sqrt{\pi }}(2x^2-1)e^{-x^2}>0,x\in (4,6)，则\\ |R_2(x)|& \le \frac{1}{2}\times |f^{{}^{\prime \prime }}(4)|\times |(5-4)(5-6)|=0.508\times 10^{-6}\end{array}$$

差商及 Newton 插值多项式

差商

📖设已知函数 $f(x)$ 在 $n+1$ 个互异节点 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 上的函数值为 $f(x_0),f(x_1),\cdots ,f(x_n)$, 称
$$\begin{array}{rl}& 0阶差商：f[x_i]=f(x_i)\\ & 1阶差商：f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}\\ & 2阶差商：f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}\\ & k阶差商：f[x_0,x_1,...,x_{k-1},x_k]=\frac{f[x_1,...,x_k]-f[x_0,...,x_{k-1}]}{x_k-x_0}\end{array}$$

• 😄$k$ 阶差商可表示成函数值 $f(x_0),f(x_1),\cdots ,f(x_k)$ 的线性组合，即

$$f[x_0,x_1,...,x_k]=\sum _{m=0}^k\frac{f(x_m)}{{\prod }_{i=0,i\ne m}^k(x_m-x_i)}$$

• 😄$k$ 阶差商 $f[x_0,...,x_k]$ 与节点的次序无关
• 📖$k$ 阶差商和 $k$ 阶导数之间关系

f[x0,x1,...,xk]=f(k)(η)k!, η∈(min{x0,...,xk},max{x0,...,xk}) f[x_0,x_1,..., x_k] = \frac{f^{(k)}(\eta)}{k!},\ \eta \in(min\{x_0,...,x_k\}, max\{x_0, ..., x_k\}) f[x0​,x1​,...,xk​]=k!f(k)(η)​, η∈(min{x0​,...,xk​},max{x0​,...,xk​})

Newton 插值多项式

$$\begin{array}{rl}{L}_n(x)& =f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\ & +...+f[x_0,x_1,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})\end{array}$$

Hermite 插值

• 📖Hermite 插值多项式：给定 $[a,b]$ 中的 $n+1$ 个互异节点 $x_i(i=0,1,...,n)$ 上的函数值和直到 $m_i$ 阶的导数值 $f(x_i)，f^{{}^{\prime }}(x_i)，...，f^{(m_i)}(x_i)$。令 $m={\sum }_{i=0}^n(m_i+1)-1$，若存在一个次数不超过 $m$ 的多项式 $H_m(x)$ 使得下述内容成立，则 $H_m(x)$ 为 Hermite 插值多项式

$$\{\begin{array}{rlrl}& H_m(x_0)=f(x_0),H_m^{{}^{\prime }}(x_0)=f^{{}^{\prime }}(x_0),...,H_m^{(m_0)}(x_0)=f^{(m_0)}(x_0)& & \\ & H_m(x_1)=f(x_1),H_m^{{}^{\prime }}(x_1)=f^{{}^{\prime }}(x_1),...,H_m^{(m_1)}(x_1)=f^{(m_1)}(x_1)& & \\ & ...& & (4.1)\\ & H_m(x_n)=f(x_n),H_m^{{}^{\prime }}(x_n)=f^{{}^{\prime }}(x_n),...,H_m^{(m_n)}(x_n)=f^{(m_n)}(x_n)& & \end{array}$$

• 满足上式的 $m$ 次多项式 $H_m(x)$ 存在唯一
• 📖设 $H_m(x)$ 为满足 $(4.1)$ 的 $m$ 次 Hermite 插值多项式，$f(x)$ 在包含 $(n+1)$ 个互异节点 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 的区间 $[a,b]$ 上具有 $m$ 阶连续导数, 在 $(a,b)$ 内存在 $(m+1)$ 阶导数, 则对任意 $x\in [a,b]$，存在 $\xi \in (a,b)$，使得插值余项 $R_m(x)$

$$R_m(x)=f(x)-H_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi )}{(m+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i{)}^{m_i+1}$$

• 若 $f\in C^n[a,b]$，$a\le x_0<x_1<...<x_n\le b$，则有

$$f[x_0,x_1,...,x_n]=\int \cdots \int f^{(n)}(t_0{x}_0+t_1{x}_1+...+t_n{x}_n)d{t}_1...d{t}_n$$

上述具有 ${\tau }_n$ 个积分 $\int$，其中 $t_0=1-{\sum }_{i=1}^n{t}_i$，τn={(t1,t2,...,tn)∣ti≥0\tau_n=\{(t_1, t_2, ..., t_n)|t_i \ge 0τn​={(t1​,t2​,...,tn​)∣ti​≥0，${\sum }_{i=1}^n{t}_i\le 1\}$ 为 $n$ 维单纯形

• 注意到被积函数是通过一元连续函数 $f^{(n)}(x)$ 与 $n$ 元线性连续函数 ${\sum }_{i=0}^n{t}_i{x}_i$ 复合而成，所以 $f[x_0,x_1,...,x_n]$ 是 $x_0,x_1,...,x_n$ 的连续函数，因此

$$\begin{array}{rl}f[x_0,x_0,...,x_0]& =\underset{x_1,x_2,...,x_k\to x_0}{\lim }f[x_0,x_1,...,x_k]\\ & =\underset{x_1,x_2,...,x_k\to x_0}{\lim }\frac{f^{(k)}(\eta )}{k!}=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\end{array}$$

• 📖重节点插值的 $m$ 次 Hermite 插值多项式为

$$\begin{array}{rl}{H}_m(x)& =f(x_0)+f[x_0,x_0](x-x_0)+...+f[x_0,...,x_0](x-x_0{)}^{m_0}\\ & +f[x_0,...,x_0,x_1](x-x_0{)}^{m_0+1}+...+f[x_0,...,x_0,x_1,x_1](x-x_0{)}^{m_0+1}(x-x_1)\\ & +f[x_0,...,x_0,x_1,...x_1,x_2](x-x_0{)}^{m_0+1}(x-x_1{)}^{(m_1+1)}\\ & +...+f[x_0,...,x_0,...,x_{n-1},...,x_{n-1},x_n,...,x_n](x-x_0{)}^{m_0+1}...(x-x_{n-1}{)}^{m_{n-1}+1}(x-x_n{)}^{m_n}\end{array}$$

• 📖重节点插值余项为

$$R_m(x)=f(x)-H_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi )}{(m+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i{)}^{m_i+1}$$

例题

例1：若 $n=0$，$m_0=k$，即 1 个 k+1 重插值节点，其插值多项式为
$$H_k(x)=f(x_0)+f^{{}^{\prime }}(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$$
例2：求 4 次插值多项式 $H(x)$，使得 $H(0)=3，H^{{}^{\prime }}(0)=4，H(1)=5，H^{{}^{\prime }}(1)=6，H^{{}^{\prime \prime }}(1)=7$

解：列表计算各点差商

$k$	$x_k$	$f(x_k)$	1阶差商	2阶差商	3阶差商	4阶差商
0	0	3	4	-2	6	$-\frac{13}{2}$
1	0	3	2	4	$-\frac{1}{2}$
2	1	5	6	$\frac{7}{2}$
3	1	5	6
4	1	5

故 $H(x)=3+4(x-0)-2(x-0{)}^2+6(x-0{)}^2(x-1)-\frac{13}{2}(x-0{)}^2(x-1{)}^2$

其插值余项 $R_4(x)=f(x)-H_4(x)=\frac{f^{(5)}(\xi )}{5!}(x-0{)}^2(x-1{)}^3,\xi \in (a,b)$

高阶插值的缺点及分段低次插值

高次插值的病态性质

当 $x$ 在 $\pm 1$ 附近时，$f(x)$ 的值和 $L_{10}(x)$ 的值相差很大。这种现象称 Runge 现象。其实可以证明，$f(x)$ 的 $n$ 次插值多项式 $L_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上不是一致收敛到 $f(x)$

分段线性插值

给定 $f(x)$ 在 $n+1$ 个节点 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ 上的函数值：

$x$	$x_0$	$x_1$	$\cdots$	$x_{n-1}$	$x_n$
$f(x)$	$f(x_0)$	$f(x_1)$	$\cdots$	$f(x_{n-1})$	$f(x_n)$

📖记 $h_i=x_{i+1}-x_i$，$h={\max }_{0\le i\le n-1}{h}_i$，在每个小区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上作 $f(x)$ 的线性插值
$$L_{1,i}(x)=f(x_i)+f[x_i,x_{i+1}](x-x_i),x\in [x_i,x_{i+1}]$$
📖其误差为
$$f(x)-L_{1,i}(x)=\frac{1}{2}{f}^{{}^{\prime \prime }}({\xi }_i)(x-x_i)(x-x_{i+1}),{\xi }_i\in (x_i,x_{i+1})$$
从而有
$$\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f(x)-L_{1,i}(x)|\le \underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|\frac{1}{2}{f}^{{}^{\prime \prime }}({\xi }_i)(x-x_i)(x-x_{i+1})|\le \frac{1}{8}{h}_i^2\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f^{{}^{\prime \prime }}(x)|$$
令
$${\tilde{L}}_1(x)=\{\begin{array}{rlrl}& L_{1,0}(x),& & x\in [x_0,x_1)\\ & L_{1,1}(x),& & x\in [x_1,x_2)\\ ⋮& & & \\ & L_{1,n-2}(x),& & x\in [x_{n-2},x_{n-1})\\ & L_{1,n-1}(x),& & x\in [x_{n-1},x_n]\end{array}$$
📖于是 ${\tilde{L}}_1(x_i)=f(x_i),(i=0,1,...,n)$，即 ${\tilde{L}}_1(x)$ 是 $f(x)$ 的分段线性插值函数，其插值误差为
$$\begin{array}{rl}\underset{a\le x\le b}{\max }|f(x)-{\tilde{L}}_1(x)|& =\underset{0\le i\le n-1}{\max }\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f(x)-{\tilde{L}}_1(x)|\\ & =\underset{0\le i\le n-1}{\max }\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f(x)-L_{1,i}(x)|\\ & \le \underset{0\le i\le n-1}{\max }\frac{1}{8}{h}_i^2\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f^{{}^{\prime \prime }}(x)|\\ & \le \frac{1}{8}{h}^2\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{{}^{\prime \prime }}(x)|\end{array}$$

• 只要 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 2 阶连续导数，当 $h\to 0$ 时，余项一致趋于零，即分段线性插值函 数 ${\tilde{L}}_1(x)$ 一致收敛于 $f(x)$

分段 3 次 Hermite

给定 $f(x)$ 在 $n+1$ 个节点 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ 上的函数表

$x$	$x_0$	$x_1$	$\cdots$	$x_{n-1}$	$x_n$
$f(x)$	$f(x_0)$	$f(x_1)$	$\cdots$	$f(x_{n-1})$	$f(x_n)$
$f^{{}^{\prime }}(x)$	$f^{{}^{\prime }}(x_0)$	$f^{{}^{\prime }}(x_1)$	$\cdots$	$f^{{}^{\prime }}(x_{n-1})$	$f^{{}^{\prime }}(x_n)$

📖记 $h_i=x_{i+1}-x_i$，$h={\max }_{0\le i\le n-1}{h}_i$，在每个小区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上利用数据

$x$	$x_i$	$x_{i+1}$
$f(x)$	$f(x_i)$	$f(x_{i+1})$
$f^{{}^{\prime }}(x)$	$f^{{}^{\prime }}(x_i)$	$f^{{}^{\prime }}(x_{i+1})$

作 3 次 Hermite 插值
$$\begin{array}{rl}{H}_{3,i}(x)=& f(x_i)+f^{{}^{\prime }}(x_i)(x-x_i)+\frac{f[x_i,x_{i+1}]-f^{{}^{\prime }}(x_i)}{h_i}(x-x_i{)}^2+\\ & \frac{f^{{}^{\prime }}(x_{i+1})-2f[x_i,x_{i+1}]+f^{{}^{\prime }}(x_i)}{h_i^2}(x-x_i{)}^2(x-x_{i+1})\end{array}$$
其插值余项为
$$f(x)-H_{3,i}(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}(x-x_i{)}^2(x-x_{i+1}{)}^2,\xi \in (x_i,x_{i+1})$$
于是
$$\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f(x)-H_{3,i}(x)|\le \frac{1}{4!}\frac{h_i^4}{16}\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f^{(4)}(x)|$$
令
H~3(x)={H3,0(x)x∈[x0,x1)H3,1(x)x∈[x1,x2)⋯H3,n−2(x)x∈[xn−2,xn−1)H3,n−1(x)x∈[xn−1,xn] \tilde{H}_3(x) = \left\{ \begin{aligned} &H_{3,0}(x) && x \in [x_0, x_1) \\ &H_{3,1}(x) && x \in [x_1, x_2) \\ &\cdots \\ &H_{3,n-2}(x) && x \in [x_{n-2}, x_{n-1}) \\ &H_{3,n-1}(x) && x \in [x_{n-1}, x_n] \\ \end{aligned} \right. H~3​(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​H3,0​(x)H3,1​(x)⋯H3,n−2​(x)H3,n−1​(x)​​x∈[x0​,x1​)x∈[x1​,x2​)x∈[xn−2​,xn−1​)x∈[xn−1​,xn​]​
则 ${\tilde{H}}_3(x_i)=f(x_i)$，${\tilde{H}}_3^{{}^{\prime }}(x_i)=f^{{}^{\prime }}(x_i)(i=0,1,...,n)$，即 ${\tilde{H}}_3(x)$ 满足插值条件，称 $f(x)$ 的分段三次插值函数为 ${\tilde{H}}_3(x)$

其误差为
$$\begin{array}{rl}\underset{a\le x\le b}{\max }|f(x)-{\tilde{H}}_3(x)|& =\underset{0\le i\le n-1}{\max }\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f(x)-{\tilde{H}}_3(x)|\\ & =\underset{0\le i\le n-1}{\max }\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f(x)-H_{3,i}(x)|\\ & \le \underset{0\le i\le n-1}{\max }\frac{1}{4!}\frac{h_i^4}{16}\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{\max }|f^{(4)}(x)|\\ & \le \frac{1}{384}{h}^4\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{(4)}(x)|\end{array}$$
分段三次 Hermite 插值的余项和 $f(x)$ 的 4 阶导数有关，当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 4 阶连续导数，则有 ${\tilde{H}}_3(x)\to f(x)$

三次样条插值

端点处附加条件（边界条件）

• 已知两端点的一阶导数，即 $S^{{}^{\prime }}(x_0)=f^{{}^{\prime }}(x_0)，S^{{}^{\prime }}(x_n)=f^{{}^{\prime }}(x_n)$
• 已知两端点的二阶导数，即 $S^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)，S^{{}^{\prime \prime }}(x_n)=f^{{}^{\prime \prime }}(x_n)$。当 $S^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=0，S^{{}^{\prime \prime }}(x_n)=0$ 时称为自然边界条件
• 周期边界条件，当 $f(x_0)=f(x_n)$ 时，$S^{{}^{\prime }}(x_0+0)=S^{{}^{\prime }}(x_n-0)，S^{{}^{\prime \prime }}(x_0+0)=S^{{}^{\prime \prime }}(x_n-0)$

样条插值的建立

TODO

最佳一致逼近

线性赋范空间

• 设 $X$ 是一个集合，如果对 $\forall x,y\in X,\lambda \in R$， 有 $\lambda x\in X,x+y\in X$，则称 $X$ 是线性空间
• 设 $X$ 是 $R$ 上的一个线性空间，${\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_m\in X$，如果存在不全为零的数 $a_1,a_2,\cdots ,a_m\in R$ 使得

$$a_1{\phi }_1+a_2{\phi }_2+\cdots +a_m{\phi }_m=0$$

则称 ${\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_m$ 线性相关；否则称 ${\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_m$ 线性无关

• 📖设 $X$ 是一个线性空间。若对 $\forall x\in X$，对应于实数，记为 $\parallel x\parallel$ 且满足下面关系：
  • $\forall x\in X$，有 $\parallel x\parallel \ge 0$，且 $\parallel x\parallel =0\Rightarrow x=0$
  • $\forall \lambda \in R$，$x\in X$，有 $\parallel \lambda x\parallel =|\lambda |\parallel x\parallel$
  • $x,y\in X$，有 $\parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel +\parallel y\parallel$

则称 $\parallel \cdot \parallel$ 为 $X$ 上的一个范数，对应的空间称线性赋范空间

• 设 $X$ 是线性赋范空间，$x,y\in X$，称 $\parallel x-y\parallel$ 为 $x$ 和 $y$ 之间的距离
• 📖设 $X$ 是线性赋范空间，$M\subseteq X$ 是 $X$ 的子空间，$f\in X$。若 $\exists \phi \in M$ 使 $\forall \psi \in M$ 有

$$\parallel f-\phi \parallel \le \parallel f-\psi \parallel$$

则称 $\phi$ 是 $f$ 在 $M$ 中的最佳逼近元

最佳一致逼近多项式

记 Mn={pn∣pnM_n = \{p_n | p_nMn​={pn​∣pn​ 为次数不超过 $n$ 的多项式 $\}$，则 $M_n\subset C[a,b]$

• 设 $f\in C[a,b]$。若 $\exists p_n\in M_n$，使得对 $\forall q_n\in M_n$，有 $\parallel f-p_n{\parallel }_{\infty }\le \parallel f-q_n{\parallel }_{\infty }$。则称 $p_n(x)$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 次最佳一致逼近多项式
• 设 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 在 $M_n$ 中存在唯一的 $n$ 次最佳一致逼近多项式 $p_n(x)$
• 设 $g\in C[a,b]$，如果 $\exists x_0\in [a,b]$ 使得 $|g(x_0)|=\parallel g{\parallel }_{\infty }={\max }_{a\le x\le b}|g(x)|$，则称 $x_0$ 为 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上的偏差点。当 $g(x_0)=\parallel g{\parallel }_{\infty }$，x0 称 g(x) 的正偏差点。当 $g(x_0)=-\parallel g{\parallel }_{\infty }$，$x_0$ 称 $g(x)$ 的负偏差点
• 设 $f\in C[a,b]$，$p_n(x)$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 次最佳一致逼近多项式，则 $f-p_n$ 必存在正负偏差点
• 设 $f\in C[a,b]$，$p_n(x)$ 是 $n$ 次多项式，则 $p_n(x)$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 次最佳一致逼近多项式 $\iff$ $f(x)-p_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上至少有 $(n+2)$ 个交错偏差点，即存在 $(n+2)$ 个点 $a\le x_0<x_1<\cdots <x_n<x_{n+1}\le b$，使得

$$f(x_i)-p_n(x_i)=(-1{)}^i\delta \parallel f-p_n{\parallel }_{\infty },i=0,1,...,n+1$$

其中 $\sigma =1$ 或 $\sigma =-1$

• 📖设 $f\in C[a,b]$，$p_n(x)$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 次最佳一致逼近多项式。如果 $f^{(n+1)}(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在且保号，则 $f(x)-p_n(x)$ 在 $[a,b]$ 内恰有 $(n+2)$ 个交错偏差点，且两端点 $a$，$b$ 也是偏差点
• 📖设 $f\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 的 $n$ 次最佳一致逼近多项式 $p_n(x)$ 为 $f(x)$ 的某个 $n$ 次插值多项式