二分图、最大匹配等基本概念

二分图

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图

 

匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配

 

最大匹配

边数最多的匹配（子图M）称为图G的最大匹配

 

最小覆盖

最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。

可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数

最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i',如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j'，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。

最大独立集

在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．

如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．最大独立集点数 = N - 最大匹配数

 

 

完全匹配/完备匹配

如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备匹配

 

增广路

　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径.

        增广路的三个特性：

　　1 P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M

　　2 P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M' 　

        3 M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径

 

 

 

求最大匹配的两种算法：

1匈牙利算法（用增广路求最大匹配）

算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径

当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配

算法流程：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配M'代替M 　　

        (3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

 

简单的描述

“从点A出发的增广路径” 一定首先连向一个在原匹配中没有与点A配对的点B。如果点B在 原匹配中没有与任何点配对，则它就是这条增广路径的终点；反之，如果点B已与点C配对，那么这条增广路径就是从A到B，再从B到C，再加上“从点C出发的 增广路径”。并且，这条从C出发的增广路径中不能与前半部分的增广路径有重复的点。

 

如果从一个点 A 出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从 A 出发都永远找不到增广路径。

 

2 最大流算法

从本质上来说，匈牙利算法就是最大流算法 ，但是匈牙利跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。

所以这里就不提最大流算法了，将来会补上