二分图基本概念

最新推荐文章于 2024-05-29 17:09:35 发布

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定义

首先先介绍一下什么是二分图。
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集V可分割为两个互不相交的
子集X和Y，并且图中每条边连接的两个顶点一个在X中，另一个在Y
中，则称图G为二分图。

性质

那么二分图有什么性质呢？
性质：当且仅当无向图G的每一个环(即回路、圈，英文为circle)的结数均是偶
数时， G才是一个二分图。如果无环，相当于每个环的结点数为0，故也视为二分图。

判定

那么如何判断一个图是二分图呢？

在图中任选一顶点v，定义其距离标号为0，然后把它的邻接点的
距离标号均设为1，接着把所有标号为1的邻接点均标号为2（如果
该点未标号的话）

标号过程可以用一次BFS实现。标号后，所有标号为奇数的点归为
X部，标号为偶数的点归为Y部。

接下来，二分图的判定就是依次检查每条边，看两个端点是否是
一个在X部，一个在Y部。

如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。

二分图匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中， M的边集{E}中的任意两条
边都不交汇于同一个结点，则称M是一个匹配。

最大匹配

选择边数最大的子图称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

增广路

增广路是关于图问题中一个十分重要的东西。
若是在其他地方没听懂增广路的仁兄，可以听一下下面的东西。

定义

增广路径的定义：设M为二分图G已匹配边的集合，若P是图G中一条连通
两个未匹配顶点的路径（ P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可），并且
属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为
相对于M的一条增广路径。

增广路径是一条“交错轨”。也就是说, 它的第一条边是目前还没有参与匹
配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且起
点和终点还没有被选择过，这样交错进行,显然P有奇数条边。

举例

红边为三条已经匹配的边。从X部一个未匹配的顶点x4开始，
找一条路径：
x4, y3, x2, y1, x1, y2
因为y2是Y部中未匹配的顶点，故所找路径是增广路径。
其中有属于匹配M的边为{x2,y3},{x1,y1}
不属于匹配的边为{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}
可以看出：不属于匹配的边要多一条

反边

如果从M中抽走{x2,y3},{x1,y1}，并加入
{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}，也就是将增广路所有的边进行”反
色”,则可以得到四条边的匹配M’={{x3,y4}, {x4,y3},{x2, y1},
{x1,y2}}
容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一
对。另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可
以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就
是匈牙利算法的思路.
可知四条边的匹配是最大匹配

性质

由增广路的定义可以推出下述三个结论：
(1)P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个
端点分属两个集合，且未匹配。
(2)P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
(3)M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

算法

匈牙利算法

该算法是用增广路求最大匹配。（十分强悍）

算法轮廓：
(1)置M为空
(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M
(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

增广路径的算法

我们采用DFS的办法找一条增广路径：

从X部一个未匹配的顶点u开始，找一个未访问的邻接点v（ v一定是Y部顶点）。对于v，分两种情况：
(1)如果v未匹配，则已经找到一条增广路
(2)如果v已经匹配，则取出v的匹配顶点w(w一定是X部顶点)，边(w,v)目前是匹配的，根据“取反”的想法，要将(w,v)改为未匹配， (u,v)设为匹配，能实现这一点的条件是看从w为起点能否新找到一条增广路径P’。如果行，则u-v-P’就是一条以u为起点的增广路径。

算法

匹配

void AddEdge(int u, int v)
{
    adj[u].push_back(v);
    adj[v].push_back(u);
}

读入建图

void Init()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int si, k;
        cin >> si;
        for(int j=1; j<=si; j++)
        {
            cin >> k;
            k += n;
            addedge(i, k);
        }
    }
}

深搜寻找增广路

bool vis[MAXN+1];
int match[MAXN+1];
Bool DFS(int u) {
    for(int i=0; i<adj[u].size(); i++) {
        int v = adj[u][i];
        if(vis[v]) continue;
        vis[v] = true;
        if ( !match[v] || dfs(match[v]) ) {
            match[v] = u;
            match[u] = v;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

void Solve() {
    for(int i = 1; i<=n; i++) {
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        if(!match[i]) {
        if(DFS(i)) ans++;
        }
    }
}
int main() {
    init();
    Solve();
    cout << ans <<endl;
    return 0;
}