计量经济学回归分析

一、一元线性回归模型

1. 回归分析概述

1.1 基本概念

• 研究因变量(Y)与一个或多个自变量(X)之间的统计关系
• 目的：建立数学模型描述变量间的依赖关系

1.2 总体回归函数(PRF)

$$E(Y|X)={\beta }_0+{\beta }_{1}X$$

1.3 随机扰动项

包含：

• 未观测因素
• 测量误差
• 人类行为随机性

1.4 样本回归函数(SRF)

$$\hat{Y}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_{1}X$$

2. 基本假设

2.1 模型设定

• 线性形式正确
• 无重要变量遗漏

2.2 解释变量

• X非随机/固定
• 存在变异性

2.3 随机干扰项

1. 零均值：$E(ϵ)=0$
2. 同方差：$Var(ϵ)={\sigma }^2$
3. 无自相关：$Cov({ϵ}_i,{ϵ}_j)=0$
4. 正态分布：$ϵ\sim N(0,{\sigma }^2)$

3. 参数估计

OLS估计量：

$${\hat{\beta }}_1=\frac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2}$$
$${\hat{\beta }}_0=\bar{Y}-{\hat{\beta }}_1\bar{X}$$

统计性质：

• 线性性
• 无偏性
• 有效性（BLUE性质）

4. 统计检验

1. 拟合优度：$R^2=ESS/TSS$
2. t检验：$H_0:{\beta }_1=0$
3. 置信区间：${\hat{\beta }}_1\pm t_{\alpha /2}\cdot se({\hat{\beta }}_1)$

二、多元线性回归模型

1. 模型形式

$$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+\cdots +{\beta }_k{X}_k+ϵ$$

2. 基本假设

• 扩展一元假设
• 无完全共线性：$rank(X)=k+1$

3. 参数估计

OLS目标：
$$\min \sum e_i^2$$

4. 统计检验

1. 拟合优度：调整$R^2$
2. F检验：$H_0:{\beta }_1=...={\beta }_k=0$
3. t检验：单个系数显著性

5. 虚拟变量

• 处理定性变量
• 设置规则：分类数=虚拟变量数+1

四、放松基本假定的模型

1. 多重共线性

检验方法：

• VIF > 10
• 条件指数 > 30

处理：

• 剔除变量
• 主成分分析
• 岭回归

2. 异方差性

检验：

• White检验
• BP检验

修正：

• WLS
• 稳健标准误

3. 内生性问题

• 工具变量法
• 2SLS

五、二元Logistic回归

1. 模型形式

$$\ln (\frac{p}{1-p})={\beta }_0+\beta X$$

2. 参数估计

极大似然估计(MLE)

3. 模型检验

• Hosmer-Lemeshow检验
• ROC曲线