进阶优化算法

本文主要讨论在优化模型求解中用到的高级优化算法，这些算法基于常见的优化算法思想，采用一些非常巧妙的技巧，而使得算法到达更快的收敛等特点。这些高级优化算法也只限定于特定的模型求解，下面将对其进行简单总结。

1. Surrogate方法

首先我们考虑一些简单的优化问题$\mathop{min}_x\frac{1}{2}\|x-x_0\|_2^2+\lambda\|x\|_1$，事实上我们只需要对$x$向量中的每一个元素进行展开求解即可，它的优化解的表达式如下：

$$x^*=S_\lambda(x_0)= \begin{cases} 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \|x_0\|_2 \leq \lambda \\ x_0-sign(x_0)*\lambda \qquad otherwise \end{cases}$$
其中，$sign$为符号函数。
下面我们考虑$\ell_2$范数正则化约束，问题形式化为$\mathop{min}_x\frac{1}{2}\|x-x_0\|_2^2+\lambda\|x\|_2$，同理我们只需要对$x$向量中的每一个元素进行展开求解即可，它的优化解的表达式如下：
$$x^*=[(1-\frac{\lambda}{\|x_0\|_2})*x_0]_+= \begin{cases} 0 \qquad\qquad\qquad\qquad \|x_0\|_2 \leq \lambda \\ (1-\frac{\lambda}{\|x_0\|_2})*x_0 \qquad otherwise \end{cases}$$
考虑$\ell_\infty$范数正则化约束，问题形式化为$\mathop{min}_x\frac{1}{2}\|x-x_0\|_2^2+\lambda\|x\|_\infty$。由于$\ell_\infty$的共轭为$\ell_1$barrior函数，因此上述问题的对偶形式为

$$\mathop{min}_y\frac{1}{2}\|y-x_0\|_2^2 \qquad s.t.\quad \|y\|_1<\lambda$$
其中$y=x_0-x$。通过转换的形式则通过$\ell_1$约束问题很好求解。下面介绍另一种求解$\ell_\infty$范数正则化约束问题。首先判断$\|x_0\|_1$的取值，如果小于等于$\lambda$，则$x=0$；否则，我们对$x_0$向量中每一个元素取绝对值，并安降序排列，记为$\{v_1,\cdots,v_j,\cdots,v_M\}$。取$\hat{j}=max\{j:\lambda-\sum_{r=1}^j(v_r-v_j)>0\}$。则最后$x$的优化解形式如下：
$$x_i^*=sign(x_{0,i})min(v_i,(\sum_{r=1}^{\hat{j}}v_r-\lambda)/\hat{j})\quad i=1,\cdots,M$$
下面我们继续考虑矩阵$\ell_*$核范数正则化约束问题，该问题可以形式化为$\mathop{min}_A\frac{1}{2}\|X-A\|_F^2+\|A\|_*$，这类问题的求解一般采用矩阵的SVD分解，$X=USV^T$；再使用Surrogate策略。一般优化解的形式如下：
$$A=U*\hat{S}*V^T$$
其中$\hat{S}$的表达式如下：
$$\hat{S}=T(S)= \begin{cases} S-\epsilon \qquad S>\epsilon \\ S+\epsilon \qquad S<-\epsilon \\ 0 \qquad\quad otherwise \end{cases}$$

2. Accelerated Gradient Algorithm

我们考虑一个常见的优化问题，形式化为$\mathop{min}_Wf(W)+\lambda\psi(W)$，函数的具体形式视情况而定。比如在机器学习领域，$f(W)$一般为总体训练样本的损失函数，$f(W)=\frac{1}{N}\sum_n \ell(\chi_n,W)$，$\chi_n=\{x_n,y_n\}$为训练样本，而$\ell$为具体的损失函数，比如平方损失，logistic 损失，hinge损失等；$\psi(W)$一般为待训练参数$W$的正则化约束，这里我们考虑混合约束$\psi(W)=\|W\|_{1,\infty}$或$\psi(W)=\|W\|_{1,2}$。该类混合约束在机器学习模型构建中经常用到，比如多任务建模中($f(W)$则为总体任务下总体训练样本的损失，$W=\{w_k\}_k$，$w_k$为第$k$个任务下待训练权重)，所以有必要讨论其优化解。
一般而言，上式问题的求解可以采用子梯度下降法优化$W$，但遗憾的是收敛速度较慢。因此在优化目标问题中，对$f(W)$在$W=W_t$处进行二阶泰勒近似展开，优化目标函数为：

$$\mathop{min}_Wf(W_t)+<W-W_t,\nabla f(W_t)>+\frac{L}{2}\|W-W_t\|_F^2+\lambda\psi(W)$$
其中。下面对上式进行重新整理得：
$$\mathop{min}_W \frac{1}{2}\|W-(W_t-\frac{1}{L}\nabla f(W_t))\|_F^2+\frac{\lambda}{L}\|W\|_{1,\infty}$$
其中$\|W\|_{1,\infty}=\sum_j\|W^j\|_\infty$，即为每一行元素绝对值的最大值累加。为了简化上式，我们令$V=W_t-\frac{1}{L}\nabla f(W_t)$和$\hat{\lambda}=\frac{\lambda}{L}$，则
$$\mathop{min}_W \frac{1}{2}\|W-V\|_F^2+\hat{\lambda}\|W\|_{1,\infty}$$
同样，上式问题可以各个维度上的子问题求解，下面我们仅考虑矩阵$W,V$的第$i$行，记着$w,v$。那么子问题简化为：
$$\mathop{min}_w \frac{1}{2}\|w-v\|_2^2+\hat{\lambda}\|w\|_{\infty}$$
如果原始问题为$\psi(W)=\|W\|_{1,2}$混合范数约束，则此时的优化子问题为：
$$\mathop{min}_w \frac{1}{2}\|w-v\|_2^2+\hat{\lambda}\|w\|_2$$
因此上述问题求解。可知，该方法对优化目标函数采用泰勒近似展开达到对原问题的简化，从而加快算法的收敛速度。