68、MAP推理：原理、复杂度与算法实现

MAP推理：原理、复杂度与算法实现

1. 概述

在之前的研究中，我们主要处理条件概率查询。然而，最大后验概率（MAP）查询在许多应用场景中也非常有用。MAP查询旨在找到所有（非证据）变量的最可能赋值，而边际MAP查询则是找到部分变量的最可能赋值，同时对其余变量进行边缘化处理。

MAP查询常用于“填补”未知信息。例如，在诊断复杂设备时，我们希望找到一个关于不同组件故障的一致假设，以解释观察到的行为。在解码通过噪声信道传输的消息时，接收器会尝试找到最可能的输入比特组合，以产生观察到的比特序列。在语音识别中，我们试图根据（有噪声的）声学信号解码出最可能的语音内容。

2. 计算复杂度

2.1 BN - MAP - DP问题

可以将MAP问题表述为决策问题，如BN - MAP - DP问题：给定一个关于变量集X的贝叶斯网络B和一个数τ，判断是否存在一个对X的赋值x，使得P(x) > τ。该问题是NP完全的。

2.2 BN - margMAP - DP问题

对于边际MAP，我们定义了类似的决策问题BN - margMAP - DP：给定一个关于变量集X的贝叶斯网络B、一个数τ和一个子集Y ⊂ X，判断是否存在一个对Y的赋值y，使得P(y) > τ。由于边际MAP是MAP的推广，所以BN - margMAP - DP问题是NP难的。而且，该问题是NPPP完全的，这表明它的计算复杂度非常高，即使对于多树网络，边际MAP问题也是NP难的。

3. 解决方法概述

3.1 问题重述

在处理MAP查询时，将联合分布重新表述为因子的乘积是