65、深入理解潜在狄利克雷分配（LDA）模型及相关概率分布

深入理解潜在狄利克雷分配（LDA）模型及相关概率分布

1. 潜在狄利克雷分配（LDA）模型概述

潜在狄利克雷分配（LDA）是一种基于贝叶斯学习的主题模型，由Blei等人在2002年提出。它是潜在语义分析和概率潜在语义分析的扩展，在文本数据挖掘、图像处理、生物信息学等领域得到了广泛应用。

LDA模型是用于文本集合的生成概率模型。它假设每个文本由主题的多项分布表示，每个主题由单词的多项分布表示。特别地，文本的主题分布的先验分布和主题的单词分布的先验分布都假设为狄利克雷分布。引入先验分布使LDA能够更好地应对主题模型学习中的过拟合现象。

LDA生成文本集合的过程如下：
1. 为文本随机生成一个主题分布。
2. 在文本的每个位置随机生成一个主题。
3. 根据该主题的单词分布，在该位置随机生成一个单词，直到文本的最后一个位置，整个文本生成完成。
4. 重复上述过程生成所有文本。

LDA模型是一个带有隐藏变量的概率图模型。在模型中，每个主题的单词分布、每个文本的主题分布以及文本每个位置的主题都是隐藏变量；文本每个位置的单词是可观测变量。LDA模型的学习和推导不能直接求解，通常使用吉布斯采样和变分EM算法，前者是蒙特卡罗方法，后者是近似算法。

2. 狄利克雷分布

狄利克雷分布是LDA模型的基础，下面详细介绍相关的概率分布。

2.1 多项分布

多项分布是多元离散随机变量的概率分布，是二项分布的扩展。假设重复进行n次独立随机试验，每次试验有k种可能的结果，第i种结果的概率为$p_i$，第i种结果出现的次数为$n_i$。如果用随机变量$X = (X_1,