Python背包算法案例详解

背包算法（Knapsack Problem）是经典的优化问题，分为0-1背包和分数背包。以下通过Python实现0-1背包的动态规划解法，并结合实际案例说明。

问题描述

给定一组物品，每个物品有重量weight和价值value，在背包容量限制W下，如何选择物品使总价值最大且不超过背包容量。

动态规划解法

动态规划的核心是构建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量j下的最大价值。

def knapsack(weights, values, W):
    n = len(values)
    dp = [[0 for _ in range(W + 1)] for _ in range(n + 1)]
    
    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(1, W + 1):
            if weights[i - 1] <= w:
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], values[i - 1] + dp[i - 1][w - weights[i - 1]])
            else:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]
    
    return dp[n][W]

代码解释

1. 初始化dp表，行数为物品数+1，列数为背包容量+1。
2. 遍历每个物品和每种容量，若当前物品重量小于等于容量，则选择放入或不放入的较大值。
3. 最终dp[n][W]即为最大价值。

实际案例

假设背包容量W=10，物品信息如下：

物品	重量	价值
1	2	6
2	2	10
3	3	12

调用函数：

weights = [2, 2, 3]
values = [6, 10, 12]
W = 10
print(knapsack(weights, values, W))  # 输出22

优化空间复杂度

可将二维数组优化为一维数组，节省空间：

def knapsack_optimized(weights, values, W):
    n = len(values)
    dp = [0] * (W + 1)
    
    for i in range(n):
        for w in range(W, weights[i] - 1, -1):
            dp[w] = max(dp[w], values[i] + dp[w - weights[i]])
    
    return dp[W]

输出所选物品

记录物品选择情况：

def knapsack_with_items(weights, values, W):
    n = len(values)
    dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]
    selected = [[] for _ in range(W + 1)]
    
    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(1, W + 1):
            if weights[i - 1] <= w and dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1] > dp[i - 1][w]:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1]
                selected[w] = selected[w - weights[i - 1]] + [i - 1]
            else:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]
                selected[w] = selected[w]
    
    return dp[n][W], selected[W]

max_value, items = knapsack_with_items(weights, values, W)
print(f"最大价值: {max_value}, 所选物品索引: {items}")  # 输出22和[1, 2]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。
• 空间复杂度：基础解法O(nW)，优化后O(W)。

应用场景

• 资源分配问题（如广告投放预算优化）。
• 行程规划（选择景点最大化体验）。
• 金融投资组合优化。

通过调整输入参数，该算法可灵活应用于各类实际场景。