线性代数（一）——行列式

行列式

行列式的定义与性质

本质定义（第一种定义）

• 2阶行列式是由两个2维向量组成的，其（运算规则的）结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积
  $$S_{OABC}=l\cdot m\cdot sin(\beta -\alpha )$$
  
• 3阶行列式是由三个3维向量${\alpha }_1=\left[a_{11},a_{12},a_{13}\right],{\alpha }_2=\left[a_{21},a_{22},a_{23}\right],{\alpha }_3=\left[a_{31},a_{32},a_{33}\right]$组成的，其（运算规则的）结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积
• n阶行列式是由n个n维向量${\alpha }_1=\left[a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}\right],{\alpha }_2=\left[a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n}\right],\cdots ,{\alpha }_{\mathbf{n}}=\left[a_{n1},a_{n2},\cdots ,a_{nn}\right]$组成的，其（运算规则的）结果为以这n个向量为邻边的n维图像的体积。

性质

• 性质1：行列互换，其值不变，即$\left|A\right|=\left|A^T\right|$.
• 性质2：行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零.
• 性质3：行列式中某行（列）元素有公因子$k(k\ne 0)$，则$k$可提到行列式外面，即
  $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

• $k\left|A\right|$ 乘进去只乘一行或一列
• 该性质也叫“倍乘”性质

• 性质4：行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即
  $\left|A\right|=\left|A^T\right|$.
• 性质2：行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零.
• 性质3：行列式中某行（列）元素有公因子$k(k\ne 0)$，则$k$可提到行列式外面，即
  $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2}& \cdots & a_{in}+b_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{i1}& b_{i2}& \cdots & b_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

该性质也叫单行（列）可拆/加性

• 性质5：行列式中两行（列）互换，行列式的值反号。

也称为“互换”性质

• 性质6：行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

• 性质7： 行列式中某行（列）的$k$倍加到另一行（列），行列式的值不变

该性质也叫“倍加”性质

互换，倍乘，倍加——三个初等变换。矩阵篇会正式提出这三个初等变换（矩阵的初等变换）

逆序数法定义（第二种定义）

1. 排列和逆序
   排列 由$n$个数$1,2,\cdots ,n$组成的一个有序数组称为一个$n$级排列，如$23145$是一个5级排列，$41352$也是一个5级排列，n级排列共有$n!$个
   逆序 在一个n级排列$i_1{i}_2\cdots i_s\cdots i_t\cdots i_n$中，若$i_s>i_t$，且$i_s$排在$i_t$前面，则称这两个数构成一个逆序.
   逆序数 一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作$\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)$，如$\tau (231546)=3,\tau (621534)=8$. 由小到大顺排的排列称为自然排序，如$12345$，显然，自然排序的逆序数为0.
   奇排列和偶排列 排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；排列的逆序数为偶数时，该排列称为偶排列。

2. n阶行列式的定义
   $n(n\ge 2)$阶行列式
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}.$$
   这里${\sum }_{j_1{j}_2\cdots j_n}$表示对所有n个列下标排列求和，故为$n!$项之和。注意到行下标已经顺排，而列下标是任一个n级排列，故每项由取自不同行、不同列的n个元素的乘积组成，每项的正负号取决于$(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}$. 当列下标为奇排列时，应附加负号；当列下标为偶排列时，应附加正号.

作为练习，求一下如下行列式：
$$\left|\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 1& 2& 5\\ 34& 1& 34\end{array}\right|=？$$
$$\left|\begin{array}{ccc}我& 0& 生\\ 0& 有& 0\\ 你& 0& 幸\end{array}\right|=？$$

行列式的展开定理（第三种定义）

阶数超过3的行列式，若还用前面两种定义来求，就太麻烦了，为此，提出行列式的展开定理

1. 余子式
   在n阶行列式中，去掉元素$a_{ij}$所在的第$i$行、第$j$列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的$n-1$阶行列式称为元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$.
2. 代数余子式
   余子式$M_{ij}$乘$(-1{)}^{i+1}$后称为$a_{ij}$的代数余子式，记作$A_{ij}$，即
   $$A_{ij}=(-1{)}^{i+1}{M}_{ij}$$
3. 行列式按某一行（列）展开的展开公式
   以按行展开为例：
   $$\left|A\right|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}Aij(i=1,2,\cdots ,n)$$

几个重要的行列式

• 主对角线行列式（右上（左下）三角形行列式）

直接对角线元素相乘即可

• 副对角线行列式（左上（右下）三角行列式）

副对角线元素相乘，前面加上系数$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$
$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n1}$

• 拉普拉斯行列式
  分块矩阵的行列式,$A$为m阶矩阵，$B$为n阶矩阵，则
  $$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|=\left|A\right|\left|B\right|$$
  $$\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\left|A\right|\left|B\right|$$
• 范德蒙德行列式
• $$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$

行列式的计算

具体型

• 化为基本型
• 递推法
• 行列式表示的函数和方程

抽象型

• 用性质

• 用公式

余子式与代数余子式的计算