杜教筛 [理解+模板]

最新推荐文章于 2020-09-15 18:07:21 发布

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杜教筛解决这类问题:

求 $S(n)= \sum_{i=1}^nf(i)$ 其中 $n <= 10^1^1$

我们寻找一个函数 g, 看能不能求出

$\sum _{i=1}^n(f*g)(i)$

$\sum _{i=1}^n(f*g)(i)=\sum _{i=1}^n\sum_{d|i}f(i/d)g(d)=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}f(i)=\sum_{d=1}^ng(d)S[n/d]$

看看我们要什么 (g为积性函数 -> g(1) = 1)

$g(1)S(n)$

于是要求的变成

$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^ng(i)S[n/i]-\sum _{i=2}^ng(i)S[n/i]=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum _{i=2}^ng(i)S[n/i]$

我们选出g 使第一个很好求, 然后第二个可以整除分块递归下去

本题的解决方案

当 f 为 mu 时, 考虑

$\mu*I=e$

令g = I, 那么

$S(n)=1-\sum _{i=2}^nS[n/i]$

当 f 为 phi 时, 考虑

$\varphi*I=Id$

令 g = I

$S(n)=\sum _{i=1}^n Id(i)-\sum _{i=2}^nS[n/i] = n*(n+1)/2 - \sum _{i=2}^nS[n/i]$

时间复杂度的分析

然后可以线性筛预处理<=m 的值, 反正空间开得下就尽量多处理一些就可以了

#include<bits/stdc++.h>
#define N 5000050
#define LL long long
using namespace std;
int T;
int prim[N],isp[N],tot;
int mu[N]; LL phi[N];
map<int,int> Mu;
map<int,LL> Phi; 
void prework(){
	mu[1] = phi[1] = 1;
	for(int i=2;i<=N-50;i++){
		if(!isp[i]) prim[++tot] = i, mu[i] = -1, phi[i] = i-1;
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			if(i * prim[j] > N -50) break;
			isp[i * prim[j]] = 1;
			if(i % prim[j] == 0){
				mu[i * prim[j]] = 0;
				phi[i * prim[j]] = phi[i] * (LL)prim[j];
				break;
			}
			else{
				mu[i * prim[j]] = -mu[i];
				phi[i * prim[j]] = phi[i] * (LL)(prim[j] - 1);
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<=N-50;i++) mu[i] += mu[i-1], phi[i] += phi[i-1];
}
LL get_Phi(int x){
	if(x<=N-50) return phi[x];
	if(Phi[x]) return Phi[x];
	LL ans = (LL)x * (LL)(x+1) / 2;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
		int val = x/l; r = x/val; 
		ans -= (LL)(r-l+1) * get_Phi(val);
	} return Phi[x] = ans;
}
int get_Mu(int x){
	if(x<=N-50) return mu[x];
	if(Mu[x]) return Mu[x];
	int ans = 1;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
		int val = x/l; r = x/val;
		ans -= (r-l+1) * get_Mu(val);
	} return Mu[x] = ans;
}
int main(){
	prework(); scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n; scanf("%d",&n);
		printf("%lld %d\n", get_Phi(n), get_Mu(n));
	} return 0;
}