CSP-S 模拟 19/11/09 学园祭的乐队（组合数学）

最新推荐文章于 2023-06-12 16:03:42 发布

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本文探讨了一道涉及模数998244853的编程题，通过概率论的方法解决全排列中特定模式的出现概率问题，详细解析了算法思路与实现代码。

在这里插入图片描述
$* *$ 出题人出的模数是 $998244853$ ，调了一个小时说怎么 $d f s$ 都要错，回过头了看题才发现
果然细节决定成败
转换一下题意，就是选一个全排列，然后到一个点就把 $p_i$ 的这个位置改成 $0$
遇到的第一个 1 的位置就是答案
考虑直接枚举最后的不合法的弦的出现位置 $i$
那么显然 $i$ 前面的任意一个为 1 的位置 $j$ ，那么 $j$ 在排列中出现在 $j$ 之前
第一个的概率是 $j−1n\frac{j-1}{n}$ ，第二个是 $j′−1n−1\frac{j'-1}{n-1}$ …
然后还要保证当前的数 $i$ 在排列中的出现位置在 $i$ 之后
显然概率为 $n−in−cnt\frac{n-i}{n-cnt}$

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
int read(){
	int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
	while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }
	while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();
	return cnt * f;
}
cs int N = 1e6 + 5;
int n; char s[N];
cs int Mod = 998244853;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int ksm(int a, int b){ int ans = 1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans = mul(ans, a); return ans; }
int inv[N];
int main(){
	n = read();
	scanf("%s", s + 1);
	if(s[1] - '0' == 1){ puts("1"); return 0; }
	inv[0] = inv[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = mul(Mod-Mod/i, inv[Mod%i]);
	int nx = n, ct = 0, p = 1;
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(s[i] - '0' == 0) continue;
		// 遇到一个 1 先算以它为答案的概率 
		int ret = mul(p, mul(inv[nx], n - i + 1));
		ans = add(ans, mul(i, ret));
		// 更新不选它的概率 
		p = mul(p, mul(inv[nx], i - ct - 1));
		nx--; ct++; 
	} 
	// 还要算为 n 的概率 
	ans = add(ans, mul(n, p)); 
	cout << ans; return 0;
}