图论好题集锦 (19/10/21)

前言：主要练了一些最短路，网络流，数据结构优化建图，感性理解了二分图 $Hall$ 定理

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HDU 5503
有 $N(N\le 50000)$ 支球队，每两支球队之间都会有一场比赛，没场比赛胜利记1分否则记0分，给出这N支球队的分数，问能否构造出每场比赛的结果，使得最后的分数成立？
解：首先可以球队向原点连 $a_i$ 的边，比赛向两个球队连边，跑网络流看合不合法
考虑将一个球队拆成 $a_i$ 个点，比赛依次连边，将比赛作为 $X$ 集合，球队作为 $Y$ 集合
当且仅当存在完美匹配时数据合法
根据二分图 $Hall$ 定理，$X$ 中的任意 $k$ 个点，与 $Y$ 中的点至少有 $k$ 对联通时存在完美匹配
我们可以枚举 $Y$ 中的 k 个球队，那么在 $X$ 中会有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$ 个点
那么对于这 $k$ 个点，需要满足 ${\sum }_{i=1}^k{a}_i\ge \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$ ，于是排序取最小的 $a_i$ 即可

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POJ 3613
$floyed$ 快速幂，最开始的矩阵表示 $x$ 到 $y$ 经过一条边的最短距离，乘一次就相当于多走了一条边

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BZOJ 3693
应该规到数据结构，但写都写了就算了
首先可以暴力 $n^2$ 建图判一下有没有完美匹配
根据二分图 $Hall$ 定理，对于任意区间 $[L,R]$ 如果对包涵的区间的 $a_i$ 求和
需满足 $R-L+1\ge sum$
显然只有在原区间左右端点上的$L,R$才有用
于是转换为，对于任意区间 $[L,R](L\in l_j,R\in r_i)$，需要满足 ${\sum }_{k=j}^i{a}_k\le R-L+1$
也就是 $R\ge sum+L-1$
按 $r_i$ 排序，线段树对于每一个 $l_i$ 维护 $max(sum+L-1)$
考虑每次添加一条线段的影响，对于 $l\le l_i$ 的 $l$ 有 $a_i$ 的贡献
线段树区间加，区间 $max$ 即可

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BZOJ 2259
题意：一个序列 $a_1,a_2,...,a_n$，每次从 $i$ 跳到 $i+a_i+1$，要求刚好跳到 $n+1$，可以对$a_i$修改，代价为修改的绝对值，问最小代价
完全看不出是最短路…
发现 $i$ 跳到 $i+a_i+1$ 是免费的，等价于 $i--i+a_i+1$，建边权为 0 的边
调整考虑一个一个调整，$i+a_i+1---i+a_i$ 建边权为 1 的边
如果 $i+a_i+1>n$，那么向 $n+1$ 连边权为 $i+a_i-n$ 的边
求出 1 到 n + 1 的最短路即可
没想到最短路也有建模，将代价抽象到边，最短路即是最小代价，妙啊！

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BZOJ 2143
挺妙的一道题
考虑我们不直接记录跳到哪，我们到一个点，如果要跳，就给它记一个"能量"
一个能量可以走一格，而要跳等价于能量加上 $a_{i,j}$
考虑如何处理不跳满的情况，发现可以让它自己不动
接下来就有两种做法，一个是每种能量建一层图，就可以无脑分层图
一种是 $dp$，$f_{i,j,k}$ 表示到 $(i,j)$ 能量为 $k$ 的最短路，类似 $Dijsktra$ 用堆维护最大转移
枚举每个点为起点跑一次即可
转换的思想特别巧妙

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BZOJ 2400
题意：有一些点的点权确定，你需要确定剩余点权，使整个图的权最小，图的权为相邻两点异或和的和
图权最小时需点权和最小
首先位与位是互不干扰的，按位处理
题目转换为，把点分为 $0/1$ 集合，只有 0 / 1 之间的边有贡献
是一个最小割的模型
令原点为 1 集合，汇点为 0 集合，原点向这一位为 1 的连边，这一位为 0 的连向汇点
边权为 $inf$，强制不能割
对于原图上的边 $(u,v)$，连边 $(u,v,1)(v,u,1)$，表示正反都可以割
求出最小割即是第一问
第二问怎么办，发现这样求出来后与 $S$ 联通的已经是最小点集，也就是说 1 的个数最小
从原点开始 $dfs$ 即可

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UOJ 77
好题
首先，分配黑白，应该是最小割的模型
考虑先令答案为 $\sum (b_i+w_i)$，要让减去最小割为答案
原点向每个点连边，边权为 $b_i$，如果割掉表示选白，此时不需要考虑为黑的限制
每个点向汇点连边，边权为 $w_i$，如果割掉表示选黑，此时要考虑限制
限制为对于任何满足条件的 $j$，$j$ 如果要选白，也就是割黑，就要额外付出 $p_i$ 的代价
最小割建图的一个经典模型就是连一些为 $inf$ 的边强制选 / 不选
你要割黑是吧，老子让你只有割了黑就必须割 $p_i$，否则就让你娃跟汇点联通
容易想到先建一个虚点 $i^{\prime }$，$i$ 向 $i^{\prime }$ 连边权为 $p_i$ 的边
你割黑就让你联通，等价于从 i 走到 j 走出一条增广路，$i^{\prime }$ 向 $j$ 连 $inf$ 的边即可
观察题目限制，想到主席树优化建图
有一个坑点是一个权值有多个点，主席树上的点要向这些点连边
我们不暴力连，向上一个叶子连即可

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HDU 5420
想到了一道类似的题，不记得出处了
就是按深度建主席树，然后向 $dfs$ 序区间 $[i{n}_u,ou{t}_u]$ 连边
因为 $[i{n}_u,ou{t}_u]$ 中没有在 u 之上的点，所以是对的
然后就是主席树优化建图，边数点数都是 $nlogn$

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NOI 2009 植物大战僵尸
最大权闭合子图模型
关于最大权闭合子图，就是说你选了一个点，它能到达的都必须选，问选出来的子图最大是多少
原点向点权为正的连边，点权为负的向汇点连边，边权为绝对值，原图上的边边权为 $inf$，表示割不掉
点权为正的点权和 - 最小割即为答案，因为要么割正的，要么割负的，割正的表示不选这个点，要减掉
割负的表示选了这个点，同样要剪掉它的值
这道题就是这样一个模型，因为要打死一个植物，必须打死保护它的植物
有一个问题就是当存在环时，环和环保护的点是打不死的，于是可以将网络流的图反过来拓扑排序，只建标记的点即可

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BZOJ 2654
已经玩烂的经典题
类似 $dp$ 凸优化，可以将白边加上一个值，判断最后选出来的个数
如果多了，就把加的调小，小了就把加的调大，最后的答案就是生成树权值 -
有一个坑点：权值相同时优先选白边