SDOI2017 题解

[SDOI2017]序列计数
发现至少有一个数是质数不是很好办，考虑用全部的减去没有一个质数的
令 $f_x$表示当前模p余x的方案数，然后转移是一个卷积，因为p很小，上一个快速幂+暴力卷积就可以过了
然后没有一个质数的初值就是 $f_{x\%p}=1(x\notin P)$,总的个数的话全部设成1就可以了
[SDOI2017]树点涂色
发现将x到根的路径全部染色有一点像一个 access,一个 splay 代表的就是一种颜色
然后第二种询问可以差分一下，转换为求一个点到根经过的颜色个数
就是 access 时切换的次数
关于第3个询问，考虑 access 时对答案的影响，就是一棵子树中的答案全部减1，一棵+1，access 的时候类似LCT维护子树操作更新，再套一个dfs序维护就可以了
[SDOI2017]数字表格
$$ans=\prod _{d=1}^{n}f[d{]}^{{\sum }_i{\sum }_j[gcd(i,j)=d]}$$
里面的东西：
$$\sum _i^n\sum _j^m[gcd(i,j)=d]$$
$$=\sum _i^{n/d}\sum _j^{m/d}\sum _{l|gcd(i,j)}\mu (l)$$
$$=\sum _{l=1}^{n/d}\mu (l)\lfloor \frac{n}{ld}\rfloor \lfloor \frac{m}{ld}\rfloor$$
$$ans=\prod _{d=1}^{n}f[d{]}^{{\sum }_{l=1}^{n/d}\mu (l)\lfloor \frac{n}{ld}\rfloor \lfloor \frac{m}{ld}\rfloor }$$
$$=\prod _{T=1}^n(\prod _{d|T}f[d{]}^{\mu (\frac{T}{d})}{)}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor }$$
然后预处理前面一坨，整除分块
[SDOI2017]新生舞会
分数规划+费用流

[SDOI2017]硬币游戏
记 $P_0$为非终止状态的概率 $P_i$为 i 获胜的概率
i 获胜可以从一个非终止状态+它本身的串来获胜，但是在生成它之前可能已经被它的前缀给占了
于是要减去先生成它的前缀的概率，最后加上一个$\sum p(i)=1$就可以高斯消元

[SDOI2017]相关分析
直接把平均数拆开带进去，发现要维护 $\sum x_i{y}_i$ $\sum x_i^2$ $\sum x_i$$\sum y_i$
然后第3个修改比较头疼，考虑先重新赋值，再一起加上S,T就是可以了
[SDOI2017]遗忘的集合
考虑如果知道集合怎么求 $f$
构造生成函数，$f(i)={\sum }_{j=0}^{inf}{x}^{ij}=\frac{1}{1-x^i}$
那么如果用$t_i$表示有没有出现，答案的生成函数就是$f={\sum }_{i=1}^{inf}(\frac{1}{1-x^i}{)}^{t_i}$
现在晓得 f，要求 t
两边取对数，$-ln(f)={\sum }_{i=1}^{inf}{t}_i\ast ln(1-x^i)$
考虑化简 $ln(1-x^i)$ ，先求导 $l{n}^{\prime }(1-x^i)=\frac{-i\ast x^{i-1}}{1-x^i}$
直接暴力展开 $\frac{-i\ast x^{i-1}}{1-x^i}=(-i\ast x^{i-1})\ast {\sum }_{j=0}^{inf}{x}^{ij}={\sum }_{j=0}^{inf}-i\ast x^{i\ast j+i-1}$
积分回去 $={\sum }_{j=0}^{inf}\frac{-i\ast x^{i\ast (j+1)}}{i\ast (j+1)}=-{\sum }_{j=1}^{inf}\frac{x^{i\ast j}}{j}$
那么原式就是 $ln(f)={\sum }_{i=1}^{inf}{t}_i\ast {\sum }_{j=1}^{inf}\frac{x^{i\ast j}}{j}={\sum }_{T=1}^{inf}{x}^T\ast {\sum }_{l|T}{t}_l\ast \frac{l}{T}$
那么将 f 取 ln，然后调和级数算一下贡献就可以了