疯狂的采药(完全背包)

这是一个关于草药采集的问题,主人公要在有限时间内从多种草药中选择并采集,以达到价值最大化。问题通过动态规划解决,核心在于如何在时间限制下选择合适的草药组合。

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题目描述
LiYuxiang是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同种类的草药,采每一种都需要一些时间,每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是LiYuxiang,你能完成这个任务吗?
此题和原题的不同点:
1.每种采药可以无限制地疯狂采摘。
2.药的种类眼花缭乱,采药时间好长好长啊!师傅等得菊花都谢了!
输入输出格式
输入格式:
输入第一行有两个整数T(1 <= T <= 100000)和M(1 <= M <= 10000),用一个空格隔开,T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间(包括1和10000)的整数,分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。
输出格式:
输出一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
1维
var
 w,a:array[1..10000]of longint;
 f:array[0..100000]of longint;
 i,j,n,m,k:longint;
function max(a,b:longint):longint;
 begin
  if a>=b then exit(a);
  exit(b);
 end;
begin
 read(m,n);
 for i:=1 to n do
  read(w[i],a[i]);
 fillchar(f,sizeof(f),0);
 for i:=1 to n do
  for j:=0 to m do
  if j>=w[i] then f[j]:=max(f[j],f[j-w[i]]+a[i])
             else f[j]:=f[j];
 write(f[m]);
end.
转移方程方f[j]:=max(f[j],f[j-w[i]]+a[i])
### 采药背包问题算法实现 #### 状态定义 在处理采药背包问题时,状态通常被定义为 `dp[i][j]` 表示前 `i` 种草药,在总重量不超过 `j` 的情况下可以获得的最大价值。这里 `i` 是草药品种索引,`j` 则表示当前考虑的背包容积。 为了简化空间复杂度,可以采用一维数组来代替二维数组进行迭代更新[^1]。 #### 初始化 初始化阶段设置当没有任何草药可选时的状态,即 `dp[j]=0` 对于所有的 `j∈[0,C]` 成立;其中 `C` 代表背包的最大承重能力。 #### 状态转移方程 对于每一个新的草药种类 `i` 和其对应的体积 `c_i` 及价值 `w_i` ,遍历可能放入背包内的剩余容量 `j` (从大到小),并计算是否应该加入该草药: \[ dp[j] = max(dp[j], dp[j-c_i]+w_i)\] 此过程确保每次只针对新增加的一种草药做决策,并且通过逆序访问保证同一轮内不会重复利用已选取过的草药实例[^4]。 #### Python代码实现 下面给出基于上述分析的一个简单Python版本实现: ```python def knapsack(weights, values, capacity): n = len(values) # 创建一个长度为capacity+1的一维列表用于存储子问题的结果 dp = [0]*(capacity + 1) for i in range(n): # 遍历所有物品 for j in range(capacity, weights[i]-1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]] + values[i]) return dp[-1] if __name__ == "__main__": # 测试样例数据输入 weight_list = [2, 3, 4, 5] value_list = [3, 4, 5, 8] bag_capacity = 5 result = knapsack(weight_list, value_list, bag_capacity) print(f"The maximum total value is {result}") ``` 这段程序实现了经典的01背包问题解决方案,适用于描述中的采药场景,其中每个位置只能放置一次特定类型的草药。
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