51nod 1109 01组成的n的倍数

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原题链接

51nod 1109
题目类型：$4$级题$♦♦♦♦$
AC记录：Accepted

题目大意

给定一个自然数$N$，找出一个$M$，使得$M>0$且$M$是$N$的倍数，并且$M$的$10$进制表示只包含$0$或$1$。求最小的$M$。

输入格式

输入$1$个数$N$。

输出格式

输出符合条件的最小的M。
$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{I}\mathbf{n}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

4

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

100

$\mathbf{H}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{t}\&\mathbf{E}\mathbf{x}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{i}\mathbf{n}$
无

数据范围

对于$100\%$的数据，$1\le N\le 10^6$。

解题思路

此题可以用$bfs$来解决。
我们知道，这题求的是最短的长度，所以我们可以用广搜，搜索每一个状态。
最初，状态从$1$开始，然后每一次扩展，都是在这个数的后面加上一个$0$或者$1$。
看起来很简单，就像一道简简单单的板子题一样。
可是，这里的$n$的范围可以达到$10^6$，所以我们需要一些优化。
既然题目要求的是$m$为$n$的倍数，换一种说法就是$m$能被$n$整除，$m=0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$。所以我们只需要记录每一个状态$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$的值，以及判重，我们就可以解出此题。
下面说一下状态转移的要点。
在状态转移时，是在后面加上一个$0$或$1$，所以设当前状态为$now$，则接下来的状态为$10\times now$和$10\times now+1$。再根据同余原理，就可以把$\times 10$和$+1$拎出来，进而去重，最后得到答案。

注意事项：

1.在去重的时候，判断的是$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$意义下的余数，不是这个数本身！
2.在状态转移时，记得要把存储原数字的一个vector也一起转移！

最后输出的时候，输出$f_0$中保存数字的vector就行。

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拓展练习：
P2841 A*B Problem
这一题是在本题的基础上加强了许多，但是据洛谷上某位神犇说，此题可以用__int128_t水过，所以下面放的是P2841的代码，不是51nod 1109的代码。

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最后，祝大家早日

上代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128_t int128;

struct obj{
    obj(int128 a=0,int b=0):times(a),left(b){}
    vector<int> bits;
    ull times;
    int left;
};

queue<obj>     q;
bool           a[1000010];
int            n;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n;
    if(n==1)
    {
        cout<<"1 1"<<endl;
        return 0;
    }
    obj st=obj(0,1);
    st.bits.push_back(1);
    q.push(st);
    while(q.size())
    {
        obj now=q.front();
        q.pop();
        int times=now.times,left=now.left;
        if(left==0)
        {
            // cout<<times<<" ";
            for(int i=0; i<now.bits.size(); i++)
                cout<<now.bits[i];
            cout<<endl;
            return 0;
        }
        for(int i=0; i<=1; i++)
        {
            int next_state=left*10+i;
            if(a[next_state%n]==true)
                continue;
            obj temp=obj(times*10+next_state/n,next_state%n);
            temp.bits=now.bits;
            temp.bits.push_back(i);
            a[next_state%n]=true;
            q.push(temp);
        }
    }
    return 0;
}

完美切题$\sim$