P1757 通天之分组背包

---

原题链接

P1757
题目类型：$普及-$
AC记录：Accepted

题目大意

自$01$背包问世之后，小$A$对此深感兴趣。一天，小$A$去远游，却发现他的背包不同于$01$背包，他的物品大致可分为$k$组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

输入格式

两个数$m,n$，表示一共有$n$件物品，总重量为$m$。

接下来$n$行，每行$3$个数$a_i,b_i,c_i$ ，表示物品的重量，利用价值，所属组数。

输出格式

一个数，最大的利用价值。

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{I}\mathbf{n}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

45 3
10 10 1
10 5 1
50 400 2

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

10

$\mathbf{H}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{t}\&\mathbf{E}\mathbf{x}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{i}\mathbf{n}$
取第一个物品，总价值为10。

数据范围

对于$100\%$的数据，$n,m\le 1000$。

解题思路

题目都告诉你了，$dp$题目啊。
这道题就是分组背包的模板题。
其实吧，分组背包看起来高级，实际上和$01$背包差不多，甚至我都觉得，就是$01$背包的船新版本。
做法就是枚举分出来的每一个组和容量，然后在从一个组里面选出一个物品来进行动态转移，那么动态转移方程也出来了：
设$f_{i,j}$为当背包容量为$j$时，选前$i$组里面的东西的最大价值，$w_i$为第$i$个物品的重量，$c_i$为第$i$个物品的价值，则：
$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{f}_{i-1,j}& j<w_k,k为第i组里面的物品\\ max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-w_k}+c_k)& j\ge w_k,k为第i组里面的物品\end{array}$$
答案为：
$$f_{k,m},k为组的个数。$$

---

优化

从上面的状态转移方程可以看出，$f_{i,j}$只和$f_{i-1}$里面的元素有关系，所以我们可以省去$i$那一维，直接写成$f_j$的形式。则动态转移方程变成：
$$f_j=\{\begin{array}{ll}{f}_j& j<w_k,k为第i组里面的物品\\ max(f_j,f_{j-w_k}+c_k)& j\ge w_k,k为第i组里面的物品\end{array}$$
答案为：
$$f_m$$

---

最后还要注意一点：洛谷上面的组数不是按照$1\cdots n$的顺序给出的，所以在做题时要注意处理好。

---

最后，祝大家早日

上代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>

using namespace std;

struct obj{
    obj(int a=0,int b=0):w(a),c(b){}
    int w,c;
};

vector<vector<obj> >   a;
map<int,int>           change;
vector<int>            f;
vector<obj>            emp1;
int                    v,n,t,pos;

int main()
{
    cin>>v>>n;
    f.assign(v+10,0);
    a.push_back(emp1);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        if(change[z]==0)
        {
            change[z]=++pos;
            a.push_back(emp1);
        }
        a[change[z]].push_back(obj(x,y));
    }
    for(int i=1; i<=pos; i++)
        for(int j=v; j>=0; j--)
            for(int k=0; k<a[i].size(); k++)
            {
                if(a[i][k].w>j)
                    continue;
                else
                    f[j]=max(f[j],f[j-a[i][k].w]+a[i][k].c);
            }
    cout<<f[v]<<endl;
    return 0;
}

完美切题$\sim$