1.引言

算法：有限步内解决一个问题的有效方法。

算法五大特征：（输入，输出，有穷性，确定性，有效性）。

 

 

 

递归算法时间复杂度（递归方程）计算方法：

 一个例子：

 1.1

 T(n) =  O(1)                n=1

             2T(n/2)+O(n)  n>1 

  求T(n)的表达式

 

   T(n)=2T(n/2)+O(n)

          =4T(n/4)+2O(n/2)+O(n)

          =4T(n/4)+2O(n)

          =8T(n/8)+3O(n)

         .....

          =2^k T(n/2^k) +kO(n)

 

   这里令n=2^k ，k=logn那么T(n)=T(2^k)=n * T(1)+logn * O(n)

                                                         =n*O(1)+O(nlogn)

                                                         =O(n)+O(nlogn)

                                                         =O(nlogn).

 

1.2 公式法

这个方法为估计形如：

　　T(n) = aT(n/b) + f(n)

　　其中，a≥1和b≥1，均为常数，f(n)是一个确定的正函数。在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式：

    1.若对于某常数ε>0，有f(n) = O(nlogb a-ε )，则T(n) = O(nlogb a )
   
    2.若f(n) = O(nlogb a )，则T(n) = O(nlogb a *logn)
   
    3.若f(n) = O(nlogb a+ε )，且对于某常数c>1和所有充分大的正整数n，有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=O(f(n))。
   
    设T(n) = 4T(n/2) + n，则a = 4，b = 2，f(n) = n，计算得出nlogb a = nlog2 4 = n2 ，而f(n) = n = O(n2-ε )，此时ε= 1，根据第1种情况，我们得到T(n) = O(n2 )。
   
    这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与nlogb a 作比较，而递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。在第一类情况下，函数nlogb a 较大，则T(n)=O(nlogb a )；在第三类情况下，函数f(n)较大，则T(n)=O(f (n))；在第二类情况下，两个函数一样大，则T(n)=O(nlogb a *logn)，即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。
   
    但上述三类情况并没有覆盖所有可能的f(n)。在第一类情况和第二类情况之间有一个间隙：f(n)小于但不是多项式地小于nlogb a ，第二类与第三类之间也存在这种情况，此时公式法不适用。