Leetcode 300.最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

方法一：动态规划

定义一个数组dp[n]，dp[i]表示以nums[i]结尾的最长上升子序列。

可以得到状态转移方程：dp[i]=max(dp[j])+1，其中满足nums[i]>nums[j]。

时间复杂度为O(n^2)。

附上代码

#include<cstdio>
#include<algorithm> 
using namespace std;
int nums[100005],dp[100005];
int main()
{
	int n,ans=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&nums[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i]=1;//dp[i]初值为1,即上升序列只有它自己 
		for(int j=i-1;j>0;j--) 
		{
			if(nums[i]>nums[j])//如果nums[i]>nums[j],则满足上升要求,可以转移 
			dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
		ans=max(ans,dp[i]);//统计答案 
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
} 

方法二

我们维护一个数组up[]，它代表目前的最长上升子序列。

遍历数组nums[]，如果nums[i]>up[t](t表示up中的最后一个)，则将nums[i]加入数组up[]中。

如果nums[i]<up[t]，就找到数组up中第一个大于nums[i]的数，并将它替换。

例如：nums为{2,5,7,3,9,4,6,8}

当nums[i]=3时，up为{2,5,7}，将up中的5替换为3。这样操作不会影响以2,5,7开头的答案，因为大于5的数一定大于3。举个栗子：{2,5,7,8}变为了{2,3,7,8}（虽然nums中不存在这样的上升序列），但并不影响答案长度。并且可能会带来更优解，如{2,3,4,6,8}。

因为up[]是单调递增的，所以查找元素可以使用二分。

时间复杂度为O(nlogn)。

附上代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int nums[100005],up[100005];
int n,t=1;
int Search(int k)//二分查找 
{
	int l=1,r=t,mid;
	while(l<r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if(up[mid]<k)
		l=mid+1;
		else r=mid;
	}
	return l;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&nums[i]);
	up[1]=nums[1];//将nums[1]加入up 
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(nums[i]>up[t])//如果nums[i]比up的最后一个大,则加入up 
		up[++t]=nums[i];
		else up[Search(nums[i])]=nums[i];//找到第一个比nums[i]大的,并替换 
	}
	printf("%d",t);
	return 0;
}

完结撒花！！！