蓝桥杯算法提高 矩阵乘法

原题:

 

  算法提高 矩阵乘法  

时间限制:3.0s   内存限制:256.0MB

    

问题描述

  有n个矩阵,大小分别为a0*a1, a1*a2, a2*a3, ..., a[n-1]*a[n],现要将它们依次相乘,只能使用结合率,求最少需要多少次运算。
  两个大小分别为p*q和q*r的矩阵相乘时的运算次数计为p*q*r。

输入格式

  输入的第一行包含一个整数n,表示矩阵的个数。
  第二行包含n+1个数,表示给定的矩阵。

输出格式

  输出一个整数,表示最少的运算次数。

样例输入

3
1 10 5 20

样例输出

150

数据规模和约定

  1<=n<=1000, 1<=ai<=10000。

分析:

 

和上次的合并石子一样的动态规划,只不过是变为乘法在相加。

代码:

 

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define maxn 0x3f3f3f3f
#define N 1005
long long  dp[N][N],p[N][N],sum[N];

int main()
{
    int n,x;
    cin>>n;
    memset(dp, 1, sizeof(dp));
    for(int i = 0;i <= n;i++)
    {
        cin>>sum[i];
        dp[i][i] = 0;
    }
    for(int l = 2;l <= n;l++)
    {
        for(int i = 1;i <= n - l + 1;i++)
        {
            long long j = i + l - 1,temp = dp[i + 1][j] + sum[i - 1] * sum[i] * sum[j];
            for(int k = i + 1;k < j;k++)
            {
                long long t = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[i - 1] * sum[k] * sum[j];
                temp = min(temp,t);
            }
            dp[i][j] = temp;
        }
    }
    cout<<dp[1][n];
    return 0;
}

 

 

 

 

 

### 关于蓝桥杯 Python 矩阵乘法的解题思路 矩阵乘法是一个常见的线性代数操作,在编程竞赛中也时常出现。以下是针对蓝桥杯 Python 实现矩阵乘法的具体分析和示例代码。 #### 1. 矩阵乘法规则 两个矩阵 \( A \) 和 \( B \) 可以相乘的前提条件是:\( A \) 的列数等于 \( B \) 的行数。假设 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵,而 \( B \) 是一个 \( n \times p \) 的矩阵,则它们的结果矩阵 \( C \) 将会是一个 \( m \times p \) 的矩阵。其中每个元素 \( c_{ij} \) 计算方式如下: \[ c_{ij} = \sum_{k=0}^{n-1} a_{ik} b_{kj} \] 这表示结果矩阵中的第 \( i \) 行第 \( j \) 列的值是由 \( A \) 中第 \( i \) 行与 \( B \) 中第 \( j \) 列对应位置元素逐项相乘再求和得到[^1]。 #### 2. 示例代码实现 下面提供了一个基于上述规则的 Python 实现方法: ```python def matrix_multiply(A, B): # 获取矩阵维度 rows_A = len(A) cols_A = len(A[0]) rows_B = len(B) cols_B = len(B[0]) # 检查是否满足矩阵乘法条件 if cols_A != rows_B: raise ValueError("A 的列数必须等于 B 的行数") # 初始化结果矩阵 result = [[0 for _ in range(cols_B)] for _ in range(rows_A)] # 进行矩阵乘法计算 for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): for k in range(cols_A): # 或者说rows_B result[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return result # 测试数据 matrix_A = [ [1, 2], [3, 4] ] matrix_B = [ [5, 6], [7, 8] ] result_matrix = matrix_multiply(matrix_A, matrix_B) for row in result_matrix: print(row) ``` 此代码定义了一个函数 `matrix_multiply` 来完成两矩阵之间的乘积运算,并通过嵌套循环实现了核心逻辑[^2]。 #### 3. 提高效率的方法 对于较大规模的数据集来说,朴素算法可能显得低效。此时可以考虑引入 NumPy 库来加速处理过程。NumPy 使用底层优化过的 C 函数执行数值计算,因此性能远高于纯 Python 实现。 ```python import numpy as np # 定义输入矩阵 A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) B = np.array([[5, 6], [7, 8]]) # 执行矩阵乘法 C = np.dot(A, B) print(C) ``` 这里我们调用了 NumPy 的内置 dot 方法来进行高效矩阵乘法[^3]。 ---
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