9、单赋值程序验证与Typed Clojure类型系统解析

单赋值程序验证与Typed Clojure类型系统解析

单赋值程序验证

在程序验证领域，将带注释的程序转换为单赋值（SA）形式是一项重要的技术。下面详细介绍相关的转换函数及性质。

变量版本与状态定义

为了处理变量版本，我们假设SA程序的变量集合由变量标识符和版本（一个非空的正整数列表）两部分组成。定义Varsa = Var × N+ 为SA变量的集合，用xl 表示 (x, l) ∈ Varsa。同时，Σsa = Varsa → D 表示状态集合，其中D 是解释域。

版本函数V : Var → N+ 用于为变量分配版本。函数 V : Var → Varsa 使得 V(x) = xV(x)，并且 V 可以自然地扩展到表达式（Exp）和断言（Assert）上，根据V 对变量进行重命名。对于状态s ∈ Σ 和版本函数V : Var → N+，定义V(s) ∈ Varsa ⇀ D 为部分函数 [V(x) → s(x) | x ∈ Var]。此外，对于s′ ∈ Σsa，s′ ⊕ V(s) 表示用V(s) 覆盖s′。

翻译函数Tsa

翻译函数Tsa 用于将带注释的程序转换为SA形式，其定义如图7所示。该函数接收一个三元组并将其转换为SA形式，它依赖于一个辅助函数，该辅助函数接收每个变量标识符的初始版本和带注释的程序，返回每个变量标识符的最终版本和SA翻译后的程序。辅助函数的定义又依赖于各种处理版本列表和版本函数的辅助函数，以及生成重命名命令的函数。这些函数使用类似Haskell的语法定义，并且假设在while命令中定义的重命名序列I和U遵循在Var上建立的某种预定义顺序（任何顺序均可）。