AVL 树

一、AVL树的由来及概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 平衡因子（右树高度减去左树高度）的绝对值不超过1

在渐进意义下，AVL树可始终将其高度控制在O(logn)以内，从而保证每次查找、插入或删除操作，均可在O(logn)的时间内完成

二、AVL树的原理（旋转）

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须通过旋转调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.右单旋：新节点插入较高左子树的左侧



以A节点为中心的右单旋可以总结为：
A的左的右作为A的左，然后A作为A的左的右

2.左单旋：新节点插入较高右子树的右侧



以A节点为中心的左单旋可以总结为：
A的右的左作为A的右，然后A作为A的右的左

3. 双旋（先左后右）新节点插入较高左子树的右侧
   
   
   先以20节点为中心左单旋，再以80节点为中心右单旋。

4.双旋（先右后左）新节点插入较高右子树的左侧
与情况3类似，不赘述。

三、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
   
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;

	int _bf; //balance factor = 右子树高度-左子树的高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{
   }
};

2.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

具体分析：

插入一个节点后，父节点的平衡因子一定需要调整

1. 如果插入到父节点的左侧，只需给父节点的平衡因子-1即可
2. 如果插入到父节点的右侧，只需给父节点的平衡因子+1即可

调整父节点的平衡因子后，父节点的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

1. 如果父节点的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果父节点的平衡因子为正负1，说明插入前父节点的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时要继续向上更新
3. 如果父节点的平衡因子为正负2，平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
   
		if (_root == nullptr)
		{
   
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;