UVa 12716 (GCD == XOR)

最新推荐文章于 2021-08-07 16:28:44 发布

spring_3_shine

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分类专栏：数学

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该博客讨论了UVa 12716题目，涉及寻找二元组（A, B），满足1 <= A <= B <= N且A的异或值等于A和B的最大公约数(GCD)。通过数学分析，作者证明了当AxorB==gcd(A, B)时，A-B==gcd(A, B)。接着，文章提出了枚举最大公约数C，并通过B==AxorC == A-C来解决这个问题。" 124967122,13990441,STM32单片机FLASH编程原理与实践,"['嵌入式硬件', 'STM32', '单片机', '编程', '下载算法']

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题意：
- 给定N，求二元组（A,B）的个数，满足：
- $1<=A<=B<=N\qquad A xor B==gcd(A，B)$
规模：
- $1 ≤ N ≤ 30000000$
- $T ≤ 10000$
类型：
- 数论，gcd
分析：
- 这里有一个规律：
- 如果AxorB==gcd(A,B)，则A-B==gcd(A,B)
- 证明：
  - 1式：AxorB>=A−B
    - 这里考虑将AB对应位数字不同的位置，交换使得，1在A里，0在B里，
    - 这样变化后异或值不变，但A-B增大。极限情况下 $AxorB==A-B$
  - 2式： $gcd(A,B)<=A-B$ ( 这个易证 )
  - 而我们有 $AxorB==gcd(A,B)$ ，由12两式 $AxorB==(A-B) ==gcd(A,B)$
- 接下来，枚举gcd(A,B)（设为C）的值，A是C的倍数，看B是否符合
- B==AxorC ==A-C
代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<iostream>


using namespace std;

const int INF=0x3fff3fff;
const int MAXN=3e7+10;
const int MAXM=40010;
const int MOD=10001;
typedef long long ll;

long long  n,m;
//long long x[2100];
int aa[MAXN];
int ans[MAXN];
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    int T,n,a,b,c;
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    memset(aa,0,sizeof(ans));
    for(int i=1;i<MAXN;i++){
       // cout<<i<<endl;
        for(int j=2;j*i<MAXN;j++){
            c=i;a=i*j;
            b=c^a;//b=a-c
            if(b==a-c){aa[a]++;}
        }
    }
    for(int i=2;i<MAXN;i++){
        ans[i]=ans[i-1]+aa[i];
        //cout<<aa[i]<<",";
    }
    cin>>T;
    int kase=0;
    while(T--){
        cin>>n;
        printf("Case %d: %d\n", ++kase, ans[n]);
    }

    return 0;
}