23、动态规划：原理、算法及应用详解

动态规划：原理、算法及应用详解

1. 动态规划基础概念

1.1 动态规划适用条件

动态规划在解决问题时依赖于子问题的重叠性和最优子结构性质。当问题中不存在公共（重叠）子问题时，动态规划就失去了其优势，因为它主要通过避免重复计算重叠子问题来提高效率。例如，在数组的二分查找中，每次查找都会将问题规模缩小一半，且子问题之间没有重叠，所以动态规划并不适用于此。

而对于第n个斐波那契数的计算，动态规划则非常有用。斐波那契数列定义为 $F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}$，其中 $F_0 = 0$，$F_1 = 1$。在递归计算斐波那契数时，会有大量的重复计算，而动态规划可以通过保存中间结果来避免这种重复，从而提高效率。

1.2 递归、记忆化（自顶向下）和制表（自底向上）解决方案的区别

• 递归 ：直接根据问题的递归定义来解决问题，通常会导致大量的重复计算。
• 记忆化（自顶向下） ：在递归的基础上，使用一个表来保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。
• 制表（自底向上） ：从最小的子问题开始，逐步计算更大的子问题，直到得到最终的结果。

1.3 最优子结构性质与动态规划

如果一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解得到，那么这个问题就具有最优子结构性质。动态规划适用于具有最优子结构性质的问题，因为它可以通过求解子问题的最优解来构建原问题的最优解。

1.4 图中路径问题的最优性原理