12、双扩展卡尔曼滤波方法详解

双扩展卡尔曼滤波方法详解

1. 联合扩展卡尔曼滤波（Joint EKF）

在之前的方法中，双扩展卡尔曼滤波（dual EKF）经过修改以最小化联合成本函数，这是一种解耦的方法，使用单独的状态空间表示来估计 $x_k$ 和 $w$。而联合扩展卡尔曼滤波（Joint EKF）提供了一种直接的替代方法，它可以同时生成 $x_k$ 和 $w$ 的最大后验（MAP）估计。

具体实现是通过定义一个新的联合状态空间表示，将状态进行拼接：
$z_k =
\begin{bmatrix}
x_k \
w_k
\end{bmatrix}$

显然，最大化密度 $r_{z_k|y_{1:k}}$ 等同于最大化 $r_{x_k,w|y_{1:k}}$。因此，$z_k$ 的 MAP 最优估计将包含使批量成本 $J(x_{k - 1}, w)$ 最小化的 $x_k$ 和 $w_k$ 的值。使用这个状态向量运行单个 EKF 可以得到一个顺序估计算法。

联合 EKF 最初出现在线性系统的估计中（状态和权重之间存在双线性关系）。非线性系统的一般方程如下表所示：

步骤	方程
初始化	$\hat{z}_0 = E[z_0]$ $P_0 = E[(z_0 - \hat{z}_0)(z_0 - \hat{z}_0)^T]$
时间更新	$\