10、混沌动力学与双扩展卡尔曼滤波方法解析

混沌动力学与双扩展卡尔曼滤波方法解析

1. 混沌动力学重建问题

在混沌动力学的研究中，重建过程常遭遇多种失败情况。这些失败模式如图 4.29 所示，主要有以下三种类型：
- 输出恒定 ：经过几步后，输出变为恒定值，表现为定点吸引子。
- 输出周期性变化 ：在几个时间步后，输出呈现周期性。
- 输出崩溃 ：在进行了几步良好的预测后，输出出现崩溃。

动态重建依据 Takens 嵌入定理，能容忍一定程度的测量噪声，但过程方程必须无噪声。而过程方程中存在动态噪声违反了 Takens 定理，这也是设计用于海杂波的鲁棒动态重建系统困难的原因。

Takens 定理为非线性动力系统的自回归建模实验方法提供了理论基础。具体来说，对于一个具有 d 维状态空间的系统，可以通过观察系统单个输出的 2d + 1 个时间延迟来重建系统的状态演化，且该定理要求可观测时间序列无噪声且长度无限。然而，在实际应用中，这两个条件都难以满足。

为缓解这些困难，推荐的做法如下：
- 为延迟坐标法使用“最优”时间延迟，使相邻样本在实际中尽可能统计独立。在相关实验研究中，通过最小化可观测时间序列与其延迟版本之间的互信息来估计最优时间延迟。

实验结果表明，EKF - RMLP 方案能够根据 Takens 嵌入定理重建混沌过程的动力学。对于数值生成的逻辑映射、池田映射和洛伦兹吸引子，以及实验生成的激光脉冲，重建数据与原始时间序列的所有重要混沌特征都非常匹配。此外，这里进行的动态重建不仅稳定，而且对于初始条件的选择和加性噪声的存在具有鲁棒性