21、分层塔克张量回归：分类案例研究

分层塔克张量回归：分类案例研究

1. 背景与预备知识

1.1 张量概述与符号表示

张量，也称为多路或多维数组，是向量和矩阵的高阶推广。一个具有 $D$ 阶的高阶张量表示为 $\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I_1\times I_2\times\cdots\times I_D}$。每个整数 $d \in {1, 2, \cdots, D}$ 代表张量的第 $d$ 维，通常称为模式或方向。矩阵用粗体大写字母 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{I\times J}$ 表示，向量用粗体小写字母 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{I}$ 表示。

• d - 模式向量或 d - 模式纤维 ：是大小为 $I_d$ 的向量，通过改变模式 $d$ 的索引同时保持其他索引固定得到。
• 张量切片 ：是通过改变两个指定模式的索引同时保持其他索引固定得到的矩阵。

Matricization ：对于张量 $\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I_1\times I_2\times\cdots\times I_D}$，定义子集 $t = {t_1, t_2, \cdots, t_k} \subset {1, 2, \cdots, D}$ 和 $r_t = {1, 2, \cdots, D}\setminus t$，张量 $\mathcal{X}$ 沿子集 $t$ 的矩阵化是将所有模式 $t$ 合并到行索引，所有模式 $r_t$ 合并到列索引