数据结构&&哈弗曼树和哈弗曼编码

1.什么是哈夫曼树和哈弗曼编码

大家来看这样一道面试题(题目来自于<程序员面试宝典>)。用二进制来编码字符串"abcdabaa",需要能够根据编码，解码回原来的字符串，最少需要多长的二进制字符串？

A.12 B.14 C.18 D.24

解析：典型的哈弗曼编码问题：字符串"abcdabaa"有4个a、2个b、1个c、1个d。构造哈弗曼树如下图所示(图好丑)。a编码0(1位)，b编码10(2位)，d编码111(3位)。二进制字符串的总长度为1*4+2*2+3*1+3*1。

接下来让我们一同回顾哈弗曼树的理论知识吧。在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。名字解释：

(1)路劲(Path):从树中的一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点间的路径。

(2)路径长度(Path Length):路径上的分支树。

(3)树的路径长度(Path Length of Tree):从树的根结点到每个结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

(4)结点的权(Weight of  Node):在一些应用中，赋予树中结点的一个有实际意义的树。

(5)结点的带权路径长度(Weight Path Length of Node):从该结点到树的根结点的路径长度与该结点的权的乘积。

(6)树的带权路径长度(WPL):树中所有叶子结点的带权路径长度之和，记为           

在下图所示的2棵二叉树，都有4个叶子结点，其权值分别1、2、3、4,他们的带权路径长度分别为: