哈夫曼树以及编解码

这一篇要总结的是树中的最后一种，即哈夫曼树，我想从以下几点对其进行总结：

1，什么是哈夫曼树？

2，如何构建哈夫曼树？

3，哈夫曼编码？

4，算法实现？

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一，什么是哈夫曼树

什么是哈夫曼树呢？

哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树。下面用一幅图来说明。

它们的带权路径长度分别为：

图a： WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54

图b： WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48

可见，图b的带权路径长度较小，我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。

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二，如何构建哈夫曼树

一般可以按下面步骤构建：

1，将所有左，右子树都为空的作为根节点。

2，在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，且置新树的附加根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和。注意，左子树的权值应小于右子树的权值。

3，从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。

4，重复2，3步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树便是哈夫曼树。

下面是构建哈夫曼树的图解过程：

三，哈夫曼编码

利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径，对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码，即是哈夫曼编码。

就拿上图例子来说：

A，B，C，D对应的哈夫曼编码分别为：111，10，110，0

用图说明如下：

记住，设计电文总长最短的二进制前缀编码，就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树，由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码。

摘自http://www.cnblogs.com/mcgrady/p/3329825.html#_label0

在电报通讯中，电文是以二进制的0、1序列传送的。字符集中的字符的使用频率是不同的（比如e和t的使用较之q和z要频繁得多），哈夫曼编码可以使得编码的总长最短，从而相同的位长可以传送更多的信息。

 

本程序以下面的字符及使用频率为例：

字符	权值
a	0.12
b	0.40
c	0.15
d	0.08
e	0.25

 

首先建立哈夫曼树：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
tree[i].ch	a	b	c	d	e
tree[i].weight	0.12	0.40	0.15	0.08	0.25	0.20	0.35	0.60	1.00
tree[i].parent	5	8	6	5	7	6	7	8	0
tree[i].lchild	-1	-1	-1	-1	-1	3	2	4	1
tree[i].rchild	-1	-1	-1	-1	-1	0	5	6	7

 

得到哈夫曼树和哈夫曼编码如下：

下面是哈夫曼编码的存储结构：

序号	bits				ch	start
0	1	1	1	1	a	2
1				0	b	5
2		1	1	0	c	3
3	1	1	1	0	d	2
4			1	0	e	4

 

程序清单如下：

#include<stdio.h>
#define n 5  //叶子数目
#define m (2*n-1)    //结点总数
#define maxval 10000.0
#define maxsize 100   //哈夫曼编码的最大位数
typedef struct
{
 char ch;
 float weight;
 int lchild,rchild,parent;
}hufmtree;
typedef struct
{
 char bits[n];   //位串
 int start;      //编码在位串中的起始位置
 char ch;        //字符
}codetype;

void huffman(hufmtree tree[]);//建立哈夫曼树
void huffmancode(codetype code[],hufmtree tree[]);//根据哈夫曼树求出哈夫曼编码
void decode(hufmtree tree[]);//依次读入电文，根据哈夫曼树译码

void main()
{
 printf("                            ——哈夫曼编码——\n");
 printf("总共有%d个字符\n",n);
 hufmtree tree[m];
 codetype code[n];
 int i,j;//循环变量
 huffman(tree);//建立哈夫曼树
 huffmancode(code,tree);//根据哈夫曼树求出哈夫曼编码
 printf("【输出每个字符的哈夫曼编码】\n");
 for(i=0;i<n;i++)
 {
  printf("%c: ",code[i].ch);
  for(j=code[i].start;j<n;j++)
   printf("%c ",code[i].bits[j]);
  printf("\n");
 }
 printf("【读入电文，并进行译码】\n");
 decode(tree);//依次读入电文，根据哈夫曼树译码
}

void huffman(hufmtree tree[])//建立哈夫曼树
{
 int i,j,p1,p2;//p1,p2分别记住每次合并时权值最小和次小的两个根结点的下标
 float small1,small2,f;
 char c;
 for(i=0;i<m;i++)    //初始化
 {
  tree[i].parent=0;
  tree[i].lchild=-1;
  tree[i].rchild=-1;
  tree[i].weight=0.0;
 }
 printf("【依次读入前%d个结点的字符及权值(中间用空格隔开)】\n",n);
 for(i=0;i<n;i++)  //读入前n个结点的字符及权值
 {
  printf("输入第%d个字符为和权值",i+1);
  scanf("%c %f",&c,&f);
  getchar();
  tree[i].ch=c;
  tree[i].weight=f;
 }
 for(i=n;i<m;i++)      //进行n-1次合并，产生n-1个新结点
 {
  p1=0;p2=0;
  small1=maxval;small2=maxval;   //maxval是float类型的最大值
  for(j=0;j<i;j++)    //选出两个权值最小的根结点
   if(tree[j].parent==0)
    if(tree[j].weight<small1)
    {
     small2=small1;  //改变最小权、次小权及对应的位置
     small1=tree[j].weight;
     p2=p1;
     p1=j;
    }
    else
     if(tree[j].weight<small2)
     {
      small2=tree[j].weight;  //改变次小权及位置
      p2=j;
     }
  tree[p1].parent=i;
  tree[p2].parent=i;
  tree[i].lchild=p1;  //最小权根结点是新结点的左孩子
  tree[i].rchild=p2;  //次小权根结点是新结点的右孩子
  tree[i].weight=tree[p1].weight+tree[p2].weight;
 }
}//huffman

void huffmancode(codetype code[],hufmtree tree[])//根据哈夫曼树求出哈夫曼编码
//codetype code[]为求出的哈夫曼编码
//hufmtree tree[]为已知的哈夫曼树
{
 int i,c,p;
 codetype cd;   //缓冲变量
 for(i=0;i<n;i++)
 {
  cd.start=n;
  cd.ch=tree[i].ch;
  c=i;       //从叶结点出发向上回溯
  p=tree[i].parent;   //tree[p]是tree[i]的双亲
  while(p!=0)
  {
   cd.start--;
   if(tree[p].lchild==c)
    cd.bits[cd.start]='0';   //tree[i]是左子树，生成代码'0'
   else
    cd.bits[cd.start]='1';   //tree[i]是右子树，生成代码'1'
   c=p;
   p=tree[p].parent;
  }
  code[i]=cd;    //第i+1个字符的编码存入code[i]
 }
}//huffmancode

void decode(hufmtree tree[])//依次读入电文，根据哈夫曼树译码
{
 int i,j=0;
 char b[maxsize];
 char endflag='2';    //电文结束标志取2
 i=m-1;             //从根结点开始往下搜索
 printf("输入发送的编码(以'2'为结束标志)：");
 gets(b);
 printf("译码后的字符为");
 while(b[j]!='2')
 {
  if(b[j]=='0')
   i=tree[i].lchild;   //走向左孩子
  else
   i=tree[i].rchild;   //走向右孩子
  if(tree[i].lchild==-1)     //tree[i]是叶结点
  {
   printf("%c",tree[i].ch);
   i=m-1;      //回到根结点
  }
  j++;
 }
 printf("\n");
 if(tree[i].lchild!=-1&&b[j]!='2')   //电文读完，但尚未到叶子结点
  printf("\nERROR\n");  //输入电文有错
}//decode

 

 

贴出一例运行结果：

摘自http://blog.sina.com.cn/s/blog_686d0fb001012qmh.html