[DP+记忆化搜索]poj1191 棋盘分割

最新推荐文章于 2021-01-16 13:53:47 发布

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探讨了将棋盘按特定规则切割成n份并求最小均方差的问题，通过数学推导简化了问题，并使用DP算法实现了求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：
把棋盘切割成n份，但是要按照规则，不管横切竖切要一刀贯穿，所以并不是普通的切割，求切割后各矩形棋盘总分的最小均方差
思路：
肯定要把看着繁复的均方差公式简化，由于根号、除以n、x平均值（也就是8*8总矩阵和/n）的都不会妨碍均方差求最小值，所以我们只需要让xi^2的总分的平方和最小即可
公式证明(设sum为总矩阵和)：
σ
= (∑(xi-x)^2/n)^(1/2)
= ([((x1^2+x2^2+……+xn^2) + (nx^2) - 2x(x1+x2+……+xn))]/n )^(1/2)
= ( ∑(xi^2)/n + x^2 -2x*∑xi/n )^(1/2)
= ( ∑(xi^2)/n - (sum^2)/(n^2) )^(1/2)

关于dp开五维数组和poj 1050 To the Max这道题开四重循环有点像，只不过多加了一维表示分割成n块

（还有个别的想法，也不一定要开五维数组，也可以开三维数组，dp[i][x][y]表示以(x,y)坐标为右下角的矩阵切割成i份的最小平方和，待讨论及实现）

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
/*
dp+记忆化搜索
利用函数递归实现
//dp[i][x][y][_x][_y] 表示(x,y)和(_x,_y)俩坐标所围矩形切割成i份的最小平方和
*/
using namespace std;
const int maxn=15;
const int maxm=10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
double arr[maxm][maxm];//原始数据
double sum[maxm][maxm];//顶点(1,1)到a[i][j]的矩阵和
double dp[maxn][maxm][maxm][maxm][maxm];
int n;
//关于这个函数其实也可以开个四维数组记录，但是浪费时间空间，不如且用且计算
double calc_sum(int x, int y, int _x, int _y){
    double tmp = sum[_x][_y]+sum[x-1][y-1]-sum[x-1][_y]-sum[_x][y-1];
    return tmp*tmp;
}
double DP(int k, int x, int y, int _x, int _y){
    if(dp[k][x][y][_x][_y]) return dp[k][x][y][_x][_y];
    if(k==n){
        return calc_sum(x,y,_x,_y);
    }
    double re;
    for(int i=x; i<_x; i++){
        re = min(DP(k+1,i+1,y,_x,_y)+calc_sum(x,y,i,_y),
                 DP(k+1,x,y,i,_y)+calc_sum(i+1,y,_x,_y));
        if(dp[k][x][y][_x][_y]){
            dp[k][x][y][_x][_y] = min(dp[k][x][y][_x][_y], re);
            continue;
        }
        dp[k][x][y][_x][_y] = re;
    }
    for(int i=y; i<_y; i++){
        re = min(DP(k+1,x,i+1,_x,_y)+calc_sum(x,y,_x,i),
                 DP(k+1,x,y,_x,i)+calc_sum(x,i+1,_x,_y));
        if(dp[k][x][y][_x][_y]){
            dp[k][x][y][_x][_y] = min(dp[k][x][y][_x][_y], re);
            continue;
        }
        dp[k][x][y][_x][_y] = re;
    }
    return dp[k][x][y][_x][_y];
}
int main(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=8; i++)
    for(int j=1; j<=8; j++){
        scanf("%lf", &arr[i][j]);
        sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+arr[i][j];
    }
    double re = DP(1,1,1,8,8);
    re = sqrt(re/n-sum[8][8]*sum[8][8]/n/n);
    printf("%.3f", re);
    return 0;
}
/*
3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3
----------------
1.633
re应该1460左右
*/