组合数的素数算法（ACM基础教程1010）

最新推荐文章于 2022-05-20 16:49:53 发布

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#算法 #math.h #output #c #input #测试

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本文介绍了一种解决大数组合数问题的有效方法，利用素数分解和哥德巴赫猜想，通过预处理素数表并计算阶乘的素数指数来避免递归或暴力求解，最终通过相减求模得出结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

                                          组合数
            TimeLimit: 1 Second   MemoryLimit: 32 Megabyte 
                        Totalsubmit: 58   Accepted: 4   
Description
从Ａ+Ｂ个不同的物品中选择Ａ个物品，共有多少种不同的选法。由于Ａ，Ｂ会很大，所以结果对Ｃ取下余。
Input
首先输入Ｔ，代表共有Ｔ组测试数据。
每组数据包括三个数字，Ａ，Ｂ，Ｃ；
Output
输出只有一个数，如题目描述。
Sample Input
2
1 1 100
2 2 100
Sample Output
2
6

开始我以为一个简单的递归就可可以过,也就是C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)组合数公式，但却tle；因为题目已经说明AB会很大，那么递归与暴力枚举是不可能AC的，那么该怎么做呢？：利用素数求法:

知识点：

这用到的是哥德巴赫猜想：热河一个数都可以有几个素数表示

任何一个实数都可以写成几个素数的和（1+1=2）

热河一个实数都可以写成几个素数的积（3！=3x2,6!=２＾４＊３＾２＊５＾１）底数都是素数

a*b%c=(a%c)*(b%c)

这样我们就可以将C（n,m）分解为素数相乘的模式，如：C（6,3）=（２＾４＊３＾２＊５＾１）/((3x2)*(3x2));

这时我们将素数的指数打表得

14    2     1

21    1     0

31    1     0

第一行减去的其余两行的 2 0 1那么结果就是2^2*3^0*5^1=20;

具体解题流程：

1.将素数打表，这方法有很多，可以用筛选法打表，也可以用其他打表方式

2.将N!分解为素数相乘的形式，然后将分解得到的指数写入数组表中，这提供一种方法代码：

1void factor ( int n, int * r )

2{

3        int i, j;

4        memset ( r, 0x00, PLEN * sizeof ( int )
 );//数组初试化，注意含string.h

5        for ( i = 0; i < PLEN; ++i )

6        {

7            for ( j = n; j; r[i] += ( j /= p[i] ) );//数组p[i]为素数表，预先将素数打表完毕。（就是将0~n之间的素数按从小到大写入数组中，n=100000）

8        }

9}

然后将指数表相减求模；

如：C(A+B,A)=(A+B)!/(A!*B!)的到得指数表为AB[],A[],B[];

　　AB[i]-=(A[i]+B[i]);

最后将AB[]表与素数表运算的结果（注意A*B%C=（A%C）*（B%C））；

AC Code：(不理解，不会AC)

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <math.h>
 4 
 5  #define LEN 100000
 6  #define PLEN 9592
 7 
 8 void sieve ( char * f, int l ) {
 9         int i, j, ilim;
10 
11         memset ( f, 0x01, l );
12         f[0] = f[1] = 0;
13         ilim = ( int ) sqrt ( ( double ) l );
14 
15         for ( i = 2; i <= ilim; ++i ) {
16                 if ( !f[i] ) continue;
17                 for ( j = i * i; j < l; j += i ) f[j] = 0;
18         }
19 }
20 
21 char f[LEN];
22 int p[PLEN];
23 int u[PLEN], da[PLEN], db[PLEN];
24 
25 void factor ( int n, int * r ) 
26 {
27         int i, j;
28         memset ( r, 0x00, PLEN * sizeof ( int ) );
29         for ( i = 0; i < PLEN; ++i ) 
30         {
31             for ( j = n; j; r[i] += ( j /= p[i] ) );
32         }
33 }
34 
35 int main ( ) {
36         int i, j, k;
37         int T, A, B, C;
38 
39         sieve ( f, LEN );
40         for ( i = 2, j = 0; i < LEN; ++i ) if ( f[i] ) p[j++] = i;//p[i]初始化
41         for(int i=0;i<20;i++)printf("%d ",p[i]);
42         for ( scanf ( "%d", &T ); T--; ) {
43                 scanf ( "%d%d%d", &A, &B, &C );
44                 factor ( A , u );

46                 factor ( A, da );
47                 factor ( B, db );
48                 for ( i = 0, j = 1; i < PLEN; ++i ) {
49                         k = u[i] - da[i] - db[i];
50                         while ( k-- ) j = j * p[i] % C;
51                 }
52                 printf ( "%d /n", j );
53         }
54 
55         return 0;
56 }