1到n的正数中1出现的次数

http://www.360doc.com/content/12/0317/18/1429048_195182735.shtml

http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/12/14/2288205.html

【题   目】输入一个整数n，求从1到n这n个正数中，1出现的次数。例如：输入12，出现一的数字有1，10，11，12共有5个1，则输出5.

【思 路2】上述算法的效率不是很好，尤其对于n非常大的情况，这种算法花费的时间很长。其实我们并不需要对于每一个数字计算出它包含的1的个数，我们可以逐位考虑，所有1的个数等于个位上1的个数+十位上1的个数+百位上1的个数+千位上1的个数+。。。接下来的问题，就是如何求解这些位上1的个数？

　　首先，我们有如下比较容易得到的结论，0-9中1的个数是1个，0-99中十位（10-19）上1的个数是10，0-999中百位上（100-199）上1的个数是100，以此类推。为什么需要这些数字，我们经过简单罗列，很容易发现：个位上1的个数，实际上和这个数字包含多少个10有关，因为对于个位来说，总是从0-9循环，十位上1的个数，实际上和这个数字包含多少个100有关，因为每包含1个100，就有0-99的循环，而0-99中十位上的1是10个；那么关系究竟是什么呢？我们看下面的例子来理解：

　　对于数字123：

　　123/10=12，包含12个10，每个10包含1个1（个位1）所以个位共包含12*1=12个1；余数的情况后面单独讨论；

　　123/100（或者12/10）=1，包含1个100，每个100包含10个1（十位1），所以十位共包含1*10=10个1；余数的情况后面单独讨论；

　　123/1000（或者1/10）=0，包含0个1000，每个1000包含100个1（百位1），所以百位共包含0*100=0个1；余数的情况后面单独讨论；

　　现在考虑余数的两种情况：

　　（1）余数大于1的情况：

　　数个位时，余数3大于1；所以个位上1的个数要+1；

　　数十位时，余数2大于1；因为增加了100-120之间（10-19）的数字即110-119，所以十位上1的个数要+10；

　　（2）余数等于1的情况：

　　数百位时，余数等于1；我们应该增加100-123这24个数字中百位上的1，共计24个；

　　在上面的计算中我们发现123/1000=0包含0个1000，所以百位包含0*100个1,这是常规的情况，实际上由于百位为1，从100到n（123）中还应增加：123-100+1个1.

　　总结上面的情况：就是对于每一位（个位，十位，百位），我们计算他们“通常”情况下（即该数字包含多少个10，100，1000乘以对应的1的个数）包含的1的个数+该位上余数大于1（等于1）的情况下包含的1的个数 = 该位上1的总个数，所有的位遍历，求和，就OK了。根据这种思路我们可以得到如下的代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<string>
 3 using namespace std;
 4 
 5 int NumbersOf1sFrom1ToN(unsigned int n)
 6 {
 7     int currentN = n;
 8     
 9     //计数器
10     int cnt = 0;
11 
12     //商，计算该数字包含多少个10，100，1000等
13     int quotient = 0;
14     
15     //余数，计算除去“整”的包含，剩下的数字包含的1的个数
16     int remainder = 0;
17     
18     //每一轮循环中的权重，分别记录10，100，1000中包含多少个位1，十位1，百位1；
19     int mult = 1;
20     
21     while(currentN)
22     {
23         quotient = currentN / 10;
24         remainder = currentN % 10;
25         
26         //包含多少个10，100，1000，乘以对应的数量的个位1，十位1，百位1
27         cnt += quotient * mult;
28 
29         //余数大于1，多加一个该轮下的权重
30         if(remainder > 1)
31         {
32             cnt += mult;
33         }
34         //余数等于1
35         else if(remainder == 1)
36         {
37             cnt += n - currentN * mult + 1;
38         }
39 
40         
41         currentN = currentN / 10;
42         mult *= 10;
43     }
44 
45     return cnt;
46 }
47 
48 int main()
49 {
50     cout<<"please enter the number N:"<<endl;
51     unsigned int number = 0;
52     cin>>number;
53 
54     cout<<"the number of 1s From 1 to N is:"<<endl;
55     cout<<NumbersOf1sFrom1ToN(number)<<endl;
56     
57     return 0;
58 }

　　运行结果如下：

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