第八届省赛 —— 题5 — 取数位

本文介绍了一种通过编程方式获取整数中特定位置数字的方法。该方法利用递归算法来确定整数的长度,并通过进一步的计算找到指定位置上的数字。

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5、标题:取数位
求1个整数的第k位数字有很多种方法。

以下的方法就是一种。

public class Main
{
	static int len(int x){
		if(x<10) return 1;
		return len(x/10)+1;
	}
	
	// 取x的第k位数字
	static int f(int x, int k){
		if(len(x)-k==0) return x%10;
		return ______________________;  //填空
	}
	
	public static void main(String[] args)
	{
		int x = 23513;
		//System.out.println(len(x));
		System.out.println(f(x,3));
	}
}
对于题目中的测试数据,应该打印5。
请仔细分析源码,并补充划线部分所缺少的代码。

注意:只提交缺失的代码,不要填写任何已有内容或说明性的文字。

答案:f(x/10, k)

<think>我们正在使用QuartusII设计一个8位数字比较器。数字比较器用于比较两个二进制数的大小,并输出比较结果(大于、小于或等于)。根据引用[3]中提到的4位数值比较器设计思路,我们可以扩展到8位。设计思路:1.比较器原理:从高位到低位逐位比较。如果高位不等,则高位比较结果就是最终结果;如果高位相等,则继续比较低位。2.我们可以采用分级比较:例如,将8位分成两个4位,先比较高位4位,如果相等再比较低位4位。也可以直接逐位比较,但使用分级可以复用4位比较器设计。根据引用[3]中4位比较器的描述,我们可以设计一个4位比较器模块,然后使用两个4位比较器来构建8位比较器。4位比较器的设计(参考引用[3]):输入:两个4位二进制数A[3:0]和B[3:0]输出:三个信号:A_gt_B(A大于B),A_lt_B(A小于B),A_eq_B(A等于B)逻辑表达式(逐位比较):设G_i=A_i&~B_i(表示第i位A大于B)L_i=~A_i&B_i(表示第i位A小于B)E_i=~(A_i^B_i)(表示第i位A等于B)但4位比较器需要从高位到低位判断:从最高位开始:如果最高位A3>B3,则整个数A>B;如果A3<B3,则A<B;如果相等,则看下一位。因此,我们可以用递归的方式写出表达式:A_gt_B=G3+(E3&G2)+(E3&E2&G1)+(E3&E2&E1&G0)A_lt_B=L3+(E3&L2)+(E3&E2&L1)+(E3&E2&E1&L0)A_eq_B=E3&E2&E1&E0但更高效的方法是使用级联方式(从低位到高位传递相等信号):另一种常见设计是使用比较器芯片(如7485)的级联方式,但这里我们用逻辑门实现。现在,我们设计8位比较器:方案:将8位分成高4位(A[7:4],B[7:4])和低4位(A[3:0],B[3:0])。使用两个4位比较器:第一个比较器比较高4位:comp_high(输入A[7:4],B[7:4],输出gt_high,lt_high,eq_high)第二个比较器比较低4位:comp_low(输入A[3:0],B[3:0],输出gt_low,lt_low,eq_low)然后,根据高4位的比较结果和低4位的比较结果确定最终输出:-如果高4位比较结果不是相等(即gt_high或lt_high有效),则最终结果就是高4位的结果。-如果高4位相等(eq_high有效),则最终结果由低4位决定。因此,最终输出:A_gt_B_total=gt_highOR(eq_highANDgt_low)A_lt_B_total=lt_highOR(eq_highANDlt_low)A_eq_B_total=eq_highANDeq_low在QuartusII中,我们可以用原理图设计方法:1.首先设计一个4位比较器模块(用原理图或VHDL/Verilog描述)。2.然后新建一个原理图,调用两个4位比较器模块,并添加逻辑门(OR和AND)来实现上述逻辑。也可以直接用硬件描述语言(如VHDL或Verilog)来描述整个8位比较器。这里我们提供两种方法。方法一:原理图设计步骤1:创建4位比较器模块(原理图或HDL)步骤2:创建顶层原理图,放置两个4位比较器模块,并连接线路。方法二:使用VerilogHDL(推荐,因为代码更简洁)我们可以直接编写一个8位比较器的Verilog模块,或者先写4位比较器,再在顶层例化两次。我们选择先设计一个4位比较器模块,然后在顶层模块中例化两次来构建8位比较器。4位比较器模块(Verilog代码):```verilogmodulecomparator_4bit(input[3:0]A,input[3:0]B,outputregA_gt_B,//A>BoutputregA_lt_B,//A<BoutputregA_eq_B//A==B);always@(*)beginif(A>B)beginA_gt_B=1'b1;A_lt_B=1'b0;A_eq_B=1'b0;endelseif(A<B)beginA_gt_B=1'b0;A_lt_B=1'b1;A_eq_B=1'b0;endelsebeginA_gt_B=1'b0;A_lt_B=1'b0;A_eq_B=1'b1;endendendmodule```8位比较器顶层模块(Verilog代码):```verilogmodulecomparator_8bit(input[7:0]A,input[7:0]B,outputA_gt_B,//A>BoutputA_lt_B,//A<BoutputA_eq_B//A==B);wiregt_high,lt_high,eq_high;wiregt_low,lt_low,eq_low;//高4位比较器comparator_4bitcomp_high(.A(A[7:4]),.B(B[7:4]),.A_gt_B(gt_high),.A_lt_B(lt_high),.A_eq_B(eq_high));//低4位比较器comparator_4bitcomp_low(.A(A[3:0]),.B(B[3:0]),.A_gt_B(gt_low),.A_lt_B(lt_low),.A_eq_B(eq_low));assignA_gt_B=gt_high|(eq_high&gt_low);assignA_lt_B=lt_high|(eq_high&lt_low);assignA_eq_B=eq_high&eq_low;endmodule```在QuartusII中的操作步骤:1.打开QuartusII,新建一个工程。2.新建两个Verilog文件,分别命名为comparator_4bit.v和comparator_8bit.v,将上述代码分别复制到两个文件中。3.将comparator_8bit设置为顶层模块。4.进行编译(Compilation)。5.进行仿真测试:编写测试台(Testbench)验证功能。测试台示例(Testbench):```verilog`timescale1ns/1nsmodulecomparator_8bit_tb;reg[7:0]A,B;wiregt,lt,eq;comparator_8bituut(.A(A),.B(B),.A_gt_B(gt),.A_lt_B(lt),.A_eq_B(eq));initialbegin//测试用例1:A=8'b00000000,B=8'b00000000->相等A=8'd0;B=8'd0;#10;//测试用例2:A=8'b00010000,B=8'b00000000->A>B(因为高位0001>0000)A=8'd16;B=8'd0;#10;//测试用例3:A=8'b00000000,B=8'b00000001->A<B(低位0000<0001,但高位相等)A=8'd0;B=8'd1;#10;//测试用例4:A=8'b10000000,B=8'b00000000->A>B(高位1000>0000)A=8'd128;B=8'd0;#10;//测试用例5:A=8'b00001111,B=8'b00001111->相等A=8'd15;B=8'd15;#10;//测试用例6:A=8'b00001111,B=8'b00001110->A>B(高位相等,低位1111>1110)A=8'd15;B=8'd14;#10;$stop;endendmodule```仿真步骤:1.在QuartusII中创建测试台文件(.vt)。2.运行仿真(RunSimulation)。此外,也可以使用原理图设计方法:1.先为4位比较器生成一个符号(Symbol)。2.在原理图编辑器中,放置两个4位比较器符号,并添加与门和或门来连接。3.输入输出端口用引脚表示。原理图设计步骤:1.创建原理图文件(.bdf)。2.在原理图中,右键选择InsertSymbol,选择之前创建的4位比较器模块(comp_4bit)。3.放置两个4位比较器实例。4.添加输入输出引脚,并连接线路(按照上面Verilog描述的逻辑连接)。注意:在原理图中,需要将高4位(A[7..4])连接到第一个比较器的A和B,低4位(A[3..0])连接到第二个比较器的A和B,然后连接输出逻辑门。总结:我们提供了两种设计方法,推荐使用VerilogHDL设计,因为更易于维护和扩展。相关问:1.如何优化8位比较器的性能(减少延迟)?2.除了分级比较,还有其他设计8位比较器的方法吗?3.在FPGA中实现比较器时,资源消耗情况如何?</think>### Quartus II 8位数字比较器设计方法 #### 一、设计原理 8位数字比较器用于比较两个8位二进制数$A[7:0]$和$B[7:0]$的大小关系,输出三种结果: 1. $A > B$(输出高电平) 2. $A < B$(输出高电平) 3. $A = B$(输出高电平) 设计核心逻辑基于**位对位比较**和**级联策略**: - 从最高位(MSB)开始逐位比较 - 高位不等时直接输出结果 - 高位相等时继续比较低位 - 使用4位比较器模块级联实现8位功能(引用[3]的扩展)[^3] 逻辑表达式: $$ \begin{cases} A>B = \bigvee_{i=7}^{0} \left( A_i \cdot \overline{B_i} \cdot \prod_{j=7}^{i+1} (A_j \odot B_j) \right) \\ A<B = \bigvee_{i=7}^{0} \left( \overline{A_i} \cdot B_i \cdot \prod_{j=7}^{i+1} (A_j \odot B_j) \right) \\ A=B = \prod_{i=7}^{0} (A_i \odot B_i) \end{cases} $$ #### 二、Quartus II设计步骤 1. **新建工程** - 打开Quartus II → File → New Project Wizard - 设置工程名称(如`comparator_8bit`) - 选择目标FPGA器件型号(如Cyclone IV系列) 2. **设计输入(原理图法)** ```mermaid graph TD A[输入端口 A7..A0] --> C1[4位比较器1] B[输入端口 B7..B0] --> C1 A[输入端口 A7..A0] --> C2[4位比较器2] B[输入端口 B7..B0] --> C2 C1 -- 高4位结果 --> LOGIC[组合逻辑] C2 -- 低4位结果 --> LOGIC LOGIC --> GT[输出 A_gt_B] LOGIC --> LT[输出 A_lt_B] LOGIC --> EQ[输出 A_eq_B] ``` - 使用**两个4位比较器模块**(引用[3]方法)[^3]: - 比较器1:处理高4位 $A[7:4]$ 和 $B[7:4]$ - 比较器2:处理低4位 $A[3:0]$ 和 $B[3:0]$ - 添加组合逻辑: - $A\_gt\_B = (A_{high} > B_{high}) \lor ((A_{high} = B_{high}) \land (A_{low} > B_{low}))$ - $A\_lt\_B = (A_{high} < B_{high}) \lor ((A_{high} = B_{high}) \land (A_{low} < B_{low}))$ - $A\_eq\_B = (A_{high} = B_{high}) \land (A_{low} = B_{low})$ 3. **设计输入(Verilog HDL法)** ```verilog module comparator_8bit( input [7:0] A, B, output reg A_gt_B, A_lt_B, A_eq_B ); always @(*) begin if (A > B) {A_gt_B, A_lt_B, A_eq_B} = 3'b100; else if (A < B) {A_gt_B, A_lt_B, A_eq_B} = 3'b010; else {A_gt_B, A_lt_B, A_eq_B} = 3'b001; end endmodule ``` 4. **编译与综合** - Processing → Start Compilation - 检查编译报告: - 资源使用(约10-15个LEs) - 最高工作频率(通常>200MHz) 5. **仿真验证** - 创建Testbench文件: ```verilog module tb_comparator(); reg [7:0] A, B; wire gt, lt, eq; comparator_8bit uut(.A(A), .B(B), .A_gt_B(gt), .A_lt_B(lt), .A_eq_B(eq)); initial begin A=8'b10101010; B=8'b01010101; #10; // A>B A=8'b00001111; B=8'b00001111; #10; // A=B A=8'b00010000; B=8'b00000001; #10; // A>B $stop; end endmodule ``` - 运行仿真(Tools → Run Simulation Tool) 6. **引脚分配与下载** - Assignments → Pin Planner - 分配输入/输出到FPGA物理引脚 - Programmer → 下载.sof文件到FPGA #### 三、关键注意事项 1. **优化策略**: - 使用`casez`语句优化门级实现 - 添加流水线寄存器提高时序性能 - 复用4位比较器IP核减少资源消耗(引用[1])[^1] 2. **调试技巧**: - 使用SignalTap II逻辑分析仪捕获实时信号 - 对边界值(全0/全1)重点测试 - 验证传播延迟是否满足时序要求 3. **扩展应用**: - 级联实现16/32位比较器 - 结合加法器构建ALU(引用[2])[^2] - 用于排序算法硬件加速 #### 四、资源消耗预估 | 资源类型 | 使用量 | FPGA占比 | |----------|--------|----------| | 逻辑单元(LE) | 12-18 | <1% | | 寄存器 | 3 | <0.5% | | 最大频率 | 250MHz | - |
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