本文详细介绍了置换群的概念及Polya定理的应用，并通过多个实例解释如何使用这些理论解决实际问题，如计算不同颜色的珠子串成项链的不同方式。
今天总算结束了置换群&polya定理，另外还温习了母函数的内容和博客，另外看了斯特林数的知识点。这样明天完成高斯消元的内容，其实以前看过，但周六交流中发现我高斯消元这方面博客看的太少，太简单。明天全力高斯。另外还要复习前面的内容和题目。下面整理下置换群&polya定理。
置换群&polya定理
1，定义：n元对称群的任意一个子群，都叫做一个n元置换群，简称置换群。
2，设f=(3,2,1,4)，g=(2,4,3,1)。 g*f=(3,4,1,2) f*g=(2,1,3,4)。
(1)合成运算的封闭性：对于G中所有的置换f与g，f*g也属于G。
(2)单位元：Sn中的恒等置换c也属于G。(c=(1,2,3,,,,n))
(3)逆元的封闭性：对G中的每一个置换f，它的逆f^(-1)也属于G。
3，例子：顶点标为1,2,3,4,5,的正五角形。它的对称群D5包含5个旋转，5个反射。 所有G5
5旋转：(1,2,3,4,5),(2,3,4,5,1),(3,4,5,1,2),(,5,1,2,3),(5,1,2,3,4)。
5对称：(1,5,4,3,2),(3,2,1,5,4),(5,4,3,2,1),(2,1,5,4,3),(4,3,2,1,5)。
4，对于G中任一元f和C中任一元c，f*c仍属于C。
5，(g*f)*h=g*(f*h)。 满足结合律。
6， 不相连轮换相乘时可以交换。
7， 每个（非轮换）的置换都可表为不相连轮换之积；每个轮换都可表为对换之积，因此，每个置换都可表为对换之积。
8，每个置换表成对换的乘积时，其对换个数的奇偶性不变。
9，使着色c保持不变的所有置换集合G(c)称为c的稳定核。
10，对于每一种着色c，c的稳定核G(c)是置换群，而且对G中的任意置换f与g，g*c=f*c充要f^(-1)*g属于G(c)。
11，设G是X的置换群，而C是X中一个满足下面条件的着色集合，对于G中所有f和c中所有f*c仍在C中，C中非等价着色数N(G,C)=(C(c1)+C(c2)+...C(cn))/|G|，(f属于G)。 burnside定理
例：用n>=3种不同颜色的珠子串成一项链，问有多少种方法。
共有n!种情况。
N(Dn,C)=(n!+0+0+...+0)/(2n)
12，f=(6,8,5,4,1,3,2,7)=[1,6,3,5]*[2,8,7]*[4]。
置换f的循环分解中的循环个数记为 #(f) 。 上面f，#(f)=3
那么|C(f)|=k^(#(f))。 3^3=9.
13，Polya定理：设G={π1，π2，π3........πn}是X={a1，a2，a3.......an}上一个置换群，用m中颜色对X中的元素进行涂色，那么不同的涂色方案数为：1/|G|*(mC(π1)+mC(π2)+mC(π3)+...+mC(πk)). 其中C(πk)为置换πk的循环节的个数
上下来自：http://blog.youkuaiyun.com/liangzhaoyang1/article/details/72639208
例子：
Θ不动：a1=(1)(2)(3)(4)
Θ旋转90度 ：a2=(1 2 3 4)
Θ旋转180度 ：a3=(1 3)(2 4)
Θ旋转270度：a4=(1 4 3 2)
比如，“逆时针旋转180度”，这个置换写成循环的乘积就是（1,3）（2,4），即1和3互变，2和4互变，不难发现，1和3的颜色必须相同，2和4的颜色也必须相同，而1-3和2-4的颜色互不相干。
由Polya定理得，共有(24+21+22+21)4=6(种方案).
可以看Burnside引理和Polya定理是一样的，Polya定理是Burnside引理的优化。
习题：
1，poj2409
感谢：http://blog.youkuaiyun.com/chenzhenyu123456/article/details/46495673
题意：就是用c种颜色给n个珠子上色，通过旋转和翻转得到相同的算一种着色方式，问有多少种上色方式。
共有m种旋转置换和m种翻转置换。
对于旋转置换：每种置换的循环节数c(fi) = gcd(m,i)，(i为一次转过多少个珠子即1 <= i <= m)
对于翻转置换：如果m为奇数，共有m种翻转置换，每种置换的循环节数均为c(f) = m/2 + 1;
如果m为偶数，分两种情况
(1)从空白处穿对称轴，则轴两边各有m/2个对象，得到c(f) = m/2；
(2) 从两个对象上穿对称轴，则轴两边各有m/2-2个对象，得到c(f) = m/2 + 1。
来自：http://blog.youkuaiyun.com/tuotq/article/details/50084077
ll polya(int c,int n)
{
int i;
ll ans=0;
//旋转置换，共n种，每种旋转i个格，循环节有gcd(n,i)个
for(i=0; i<n; i++)
{
ans+=(ll)pow(1.0*c,gcd(n,i));
}
if(n&1) //奇数翻转，沿每个点同中心点连线翻转共n种，
{
//循环节有(n-1)/2+1
ans+=n*(ll)pow(1.0*c,(n+1)/2);
}
else //偶数翻转
{
ans+=n/2*(ll)pow(1.0*c,n/2);//两个相邻点中点和圆心
//的连线也是n/2条，循环节的个数是n/2
ans+=n/2*(ll)pow(1.0*c,n/2+1);//对称轴是每个点和对
//面的点的连线，共n/2条，循环节的个数是 (n-2)/2+2
}
return ans/(2*n);
}
就是套用polya公式，但要分析清楚所有情况。
2，Codeforces 612E Square Root of Permutation
题意：给定一个序列q，找p*p=q(即p[p[i]] = q[i])的p序列是否存在，不存在输出-1，存在输出任意一个p序列。
(1)环的元素个数是偶数，经过一次变换后，环会分裂成两个元素大小相等的环。
(2)环的元素个数是奇数，经过一次变换后，环只是移动位置而不会发生分裂，只是位置发生变化。
3，hdoj2888
部分参考：http://blog.youkuaiyun.com/tsaid/article/details/7371164
题意：给定n（n <= 10^9）颗珠子和m种颜色，这n颗珠子可以组成一串项链，每颗珠子可以用m中颜色来填充，如果两种涂色方法通过旋转项链可以得到，则两种涂色方法等价。现在再给定K组限制，每组限制a、b代表颜色a和颜色b不能涂在相邻的珠子上面。问一共有多少种涂色方法。
补：A的k次幂表示图的长度为k的通路，回到自身则表示长度为k的回路
可以理解为走n步共多少种走法。相当于用矩阵做。
4，poj2154
本题以下与代码均来自：http://blog.youkuaiyun.com/tsaid/article/details/7366708
题意：给出两个整数n和p，代表n个珠子，n种颜色，要求不同的项链数，翻转置换不考虑。结果模p.
因为数据比较大，所以按照之前的方法会超时，要利用到欧拉函数进行优化。
题意：给出两个整数n和p，代表n个珠子，n种颜色，要求不同的项链数，翻转置换不考虑。结果模p.
题解：
我们知道gcd（i,n)表示了循环节的个数。例如gcd(2,6) = 2, 它的具体过程为：[1，3，5] [2，4，6]
对于任意一个循环置换，他所有循环节的长度为 n / gcd(i,n)，在上面的例子中: 循环节长度 = 6 / gcd(2,6) = 3
为了方便说明，用L表示循环节的长度，显然 L | n
如果我们枚举L，求出对于每一个L有多少个i, 使得 L = n / gcd (i,n)， 那么我们实际上也得到了循环节个数为 n / L 的置换个数。
将L = n / gcd (i,n)转换一下得到：n / L = gcd（i,n )
设 cnt ＝ n / L = gcd(i, n) 注：cnt表示循环节个数，L表示每一个循环节的长度
因为 cnt | i, 所以可令 i ＝ cnt * t; ( 因为0 <= i < n, 所以0 <= t < n / cnt = L )
又因为 cnt = n / L， 所以 n = cnt * L;
则 gcd ( i, n ) = gcd ( cnt*t, cnt*L ) = cnt; ①
可知当 gcd ( t, L ) = 1 时 ① 式成立。
由于 gcd ( t, L ) = 1 的个数就是 Euler(L)的个数，
所以我们可以得到结论：循环节个数为n/L的置换有Euler(L)个。
int Polya ( int n, int m )
{
int ret = 0;
for ( int l = 1; l*l <= n; l++ )
{
if ( n % l ) continue;
ret = (ret + Euler(l,m) * mod_exp(n, n/l-1, m)) % m;
if ( l * l == n ) break;
ret = (ret + Euler(n/l,m) * mod_exp(n, l-1, m)) % m;
}
return ret;
}
5，另外还有hdu2865是一道好题，矩阵快速幂+置换+欧拉函数优化+dp。这道题我恐怕现在还写不出来，就不搬别人博客了，推荐这道题。
到此几乎已经包括我看过的所有题型。关于欧拉函数优化的题其实还是应该在多看看。
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