ACM训练日记—1月30日

        今天看了高斯消元的题目，感觉看的有点慢，发现看完发现全都是关于点灯染色的题目，记得曾经做过一道概率的题目也可以用高斯消元解，只是没有点灯那么难。

       总的来说今天看的题目解题方法分为三种，一种使用枚举的这个我不说了，另外两种都是关于高斯消元的，是对矩阵模型的两种应用。

方法一：    就像poj1681     来自http://blog.youkuaiyun.com/yp_2013/article/details/69665835

解题思路： 
我们可以首先来构造一个矩阵，这个矩阵式干啥的呢，我们可以认为这个矩阵是按下一个格子之后它能够作用的范围，将能够作用的范围用1表示否则用0表示。来举个例子 
就 根据一个3*3的矩阵，对于第一行第一列的元素来说，它可以影响的范围是它自己 还有它的右面的值和它的下面的值，矩阵中其余的值都是0，也就是说 
A(0,0)= 
1 1 0 
1 0 0 
0 0 0 
A(0,1)= 
1 1 1 
1 0 0 
0 0 0 
现在我们设一个L矩阵，表示初始的状态，如果是y就是0，否则就是1，也就是说我们需要将当前的矩阵操为全是0的矩阵 
L + x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + … + x(3,3)*A(3,3) = 0 （1） 
上述 方程的 x 表示的是一个未知数，因为我们不知道是否是按下这个按钮。那么x(i, j)=0表示不按，否则表示按。那么我们现在就是求一个这样的方程解最小的x，那么上述方程中的矩阵A可以用一个比较大 的矩阵n*n的来表示，然后就是转换一下关系就行了（具体在代码中有体现）。那么现在就是n个未知数，n个方程，在（1）中，可以两边加上L,那么就是变成了： 
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + … + x(3,3)*A(3,3) = L（2） 

       依据矩阵每一种状态建立新矩阵，就像上题，还要继续将其化出来，比如第一个式子应该是x1+x2+x3=L(1,1)，依次化出来，建立增广矩阵，然后用高斯消元解出来。

方法二：

          这种方法主要就是利用关系，a(i,j)表示j位置变化是否对i位置有影响，如poj1830，

来自：http://blog.youkuaiyun.com/qq_33879506/article/details/53192909

将矩阵每一列想象为一个开关按下后产生的效果（1表示状态翻转，0表示不变），比如，第二列就表示按下第二个开关，则第二个开关的本身状态要改变（这就是把对角线0换成1的原因），受第二个开关影响的开关j状态也要改变，恰好对应邻接矩阵中A[j, 2]=1 
把A写成分块矩阵的形式，每一列作为一个子矩阵，则有A=[a1, a2, a3],此处ai均为列向量，设第i个开关按下次数为xi，xi=0或1（开关按两下和没按是等效的，0/1就够了） 
记初始状态b0=[0,0,0],最终状态b1=[1,1,1],则状态变化b=b0^b1=[1,1,1],这里b也是列向量。目标就是求x1a1 + x2a2 +x3a3 = b的解的个数（此处的加是模2加，也就是异或，下同） 

         

        还有像poj1753利用状态压缩枚举所有变元的情况（2^k种），其实复杂度和深搜一样的。

明天继续补高斯消元不同种的题目。