中国剩余定理

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#算法 #扩展 #c

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本文详细介绍了中国剩余定理及其相关算法，包括扩展欧几里得算法、求模逆元的方法，并提供了完整的程序实现。通过具体实例展示了如何解决模线性方程组问题。

说到中国剩余定理就不能不提一些前期的一些知识点：

1.利用欧几里得算法求整数系数已从不定方程ax+by = c的解：

对于这个不定方程的解有两种程序：

（1）无递归的实现方式：

//扩展的欧几里得算法无递归程序： __int64 extend_gcd_w_dg(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y) { __int64 x0, x1, x2, y0, y1, y2; __int64 r0, r1, r2, q; if(a==0 && b==0)//当a与b的最大公因数不存在 { x = 0; y = 1; return -1; } if(a==0 && b!=0)//a=0,就不存在a的乘法逆元 { x = 0; y = 0; return a; } if(b==0 && a!=0)//b=0,不存在b的乘法逆元 { x = 1; y = 0; return a; } if(a!=0 && b!=0) { x0 = 0; x1 = 1; r0 = a; y0 = 1; r1 = b; r2 = r0%r1; y1 = 0 - r0/r1; x2 = 1; y2 = y1; while((r1%r2)!=0) { r0 = r1; r1 = r2; q = r0/r1; x2 = x0 - x1*q; y2 = y0 - y1*q; x0 = x1; x1 = x2; y0 = y1; y1 = y2; r2 = r0%r1; } x = x2; y = y2; return r2; } }

（2）递归的实现方式：

//最大公因数的扩展欧几里得算法的递归程序 /********************** 输入：a,b 输出：返回：d=gcd(a,b)和对应于等于ax+by=d中的x,y /**********************/ __int64 extend_gcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y) { __int64 t, m; if((b==0) && (a==0)) return -1;//表示无最大公因数 if(b==0) { x = 1; y = 0; return a; } else { m = extend_gcd(b, a % b, x, y); t = x; x = y; y = t - (a/b)*y; } return m; }

2.求 mod m 的逆元素算法：

定理：对整数a,m（m>0)，如果存在整数b,满足ab≡1(mod m)，那么称b是a的模m乘法逆元。

也有两种方法来求解逆元元素：

（1）利用扩展欧几里得算法来求解：

//求逆元的递归程序 __int64 mod_reverse_digui(__int64 a, __int64 m) { __int64 x, y, gcd; gcd = extend_gcd_w_dg(a, m, x, y); if(gcd == 1) { if(x<0) x = (x%m+m)%m; return x; } else return 0; }

（2）利用无递归的程序：

//求mod m的逆元素的无递归程序： __int64 mod_reverse(__int64 a, __int64 m) { __int64 y = 0, x = 1, r = a%m, q, t, mm = m; if(r<0) r = r+m; while((m%r) != 0) { a = m; m = r; q = a/m; r = a%m; t = x; x = y-x*q; y = t; } if(r!=1) return 0; if(x<0) x = x+mm; return x; }

3.中国剩余定理的内容如下：

设m₁,m₂,....,m_n是两两互素的n个正整数，记m=m₁m₂....m_n，M_i = m/m_i,1<=i<=n,那么，下列模线性方程组：

x ≡ b₁(mod m₁)

x ≡ b₂(mod m₂)

x ≡ b_n(mod m_n)

的解为x₀ = (b₁M₁y₁ + b₂M₂y₂+ b₃M₃y₃ + ... + b_nM_ny_n)mod m,其中，y_i是M_iy_i ≡ 1(mod m_i)的解，i=1,2,3...,n.

中国剩余定理程序如下：

总体程序实现如下：

//中国剩余定理
/*
设m1,m2,...,mn是两两互素的n个正整数，记m=m1m2..mn,Mi=m/mi,1<=i<=n,那么下列模线性方程组:
x=b1(mod m1)
x=b2(mod m2)
.
.
.
x=bn(mod mn)
求出这个方程组的解
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define MAXN 100
//最大公因数的扩展欧几里得算法的递归程序
/**********************
输入：a,b
输出：返回：d=gcd(a,b)和对应于等于ax+by=d中的x,y
/**********************/
__int64 extend_gcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)
{
	__int64 t, m;
	if((b==0) && (a==0))
		return -1;//表示无最大公因数
	if(b==0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	else
	{
		m = extend_gcd(b, a % b, x, y);
		t = x;
		x = y;
		y = t - (a/b)*y;
	}
	return m;
}
//扩展的欧几里得算法无递归程序：
__int64 extend_gcd_w_dg(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)
{
	__int64 x0, x1, x2, y0, y1, y2;
	__int64 r0, r1, r2, q;
	if(a==0 && b==0)//当a与b的最大公因数不存在
	{
		x = 0;
		y = 1;
		return -1;
	}
	if(a==0 && b!=0)//a=0,就不存在a的乘法逆元
	{
		x = 0;
		y = 0;
		return a;
	}
	if(b==0 && a!=0)//b=0,不存在b的乘法逆元
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	if(a!=0 && b!=0)
	{
		x0 = 0; 
		x1 = 1;
		r0 = a;
		y0 = 1;
		r1 = b;
		r2 = r0%r1;
		y1 = 0 - r0/r1;
		x2 = 1;
		y2 = y1;
		while((r1%r2)!=0)
		{
			r0 = r1;
			r1 = r2;
			q = r0/r1;
			x2 = x0 - x1*q;
			y2 = y0 - y1*q;
			x0 = x1;
			x1 = x2;
			y0 = y1;
			y1 = y2;
			r2 = r0%r1;
		}
		x = x2;
		y = y2;
		return r2;
	}
}
//求mod m的逆元素的无递归程序：
__int64 mod_reverse(__int64 a, __int64 m)
{
	__int64 y = 0, x = 1, r = a%m, q, t, mm = m;
	if(r<0)
		r = r+m;
	while((m%r) != 0)
	{
		a = m;
		m = r;
		q = a/m;
		r = a%m;
		t = x;
		x = y-x*q;
		y = t;
	}
	if(r!=1)
		return 0;
	if(x<0)
		x = x+mm;
	return x;
}
//求逆元的递归程序
__int64 mod_reverse_digui(__int64 a, __int64 m)
{
	__int64 x, y, gcd;
	gcd = extend_gcd_w_dg(a, m, x, y);
	if(gcd == 1)
	{
		if(x<0)
			x = (x%m+m)%m;
		return x;
	}
	else
		return 0;
}
//中国剩余定理的程序如下：
int n;
__int64 ChinaRemainder(int m0[], int b[])
{
	__int64 d, x, y, m=1, a=0;
	int i;
	for(i=1; i<=n; i++)
		m = m*m0[i];
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		__int64 MM = m/m0[i];
	//	extend_gcd(MM, m0[i], x, y);
	//	x = mod_reverse(MM, m0[i]);
		x = mod_reverse_digui(MM, m0[i]);
		a = (a+MM*x*b[i])%m;
	}
	return a;
}
int main()
{
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	int i;
	__int64 ans;
	int b[MAXN], m[MAXN];
	while(scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		for(i=1; i<=n; i++)
		{
			scanf("%d %d", &b[i], &m[i]);
		}
		printf("%I64d/n", ChinaRemainder(m, b));
	}
	return 0;
}
/*
2
2 5
3 13
4
1 3
-1 5
2 7
-2 11
*/