约瑟夫环

输入n、m，总人数为n，每数到m杀一个人（这里设第一个序号为 t）

例：n=6, m=2

    1， 2， 3， 4， 5， 6

    1，   ， 3， 4， 5， 6

    1，   ， 3，   ， 5， 6

    1，   ， 3，   ， 5， 

    1，   ，   ，   ， 5， 

      ，   ，   ，   ， 5， 

设 f(n) 为第n个人死时，最后活着的人序号，当时有 1个人

设 f( i) 为第 i个人死时，最后活着的人序号，当时有 n-i+1个人

现有，

    f(n) = 1

    f(n-1) = [f(n)+m]%2

    f( i) = [f(i+1) +m]%(n-i+1)

于是，从 f(n)一直推算出 f(1)，需要执行 +m)%(n-i+1) 共 n-1 次

 

实现：

    int t = 1;

    for( int i = 2; i <= n; ++i)

    {

        t = (t+m)%i;

    }

    cout << t << endl;

 

注意，这里有一个错误，在 n-1次循环中，我们使用了求余运算，假设除数为i，则取值范围为[0, i-1]

而我们一直的计数是从1到n，而不是 0到n-1，如这还有3个人，我们的计数是 1，2，3，而不是 0，1，2

这就导致了当 t + m == i 时，我们原先的计数方式就使得 t = 0 而不可能取到 t = i，若单独拿出来判断浪费资源

加入判断，

    t = (t+m)%i;

    if( t == 0)

        t = i;

故而，这里我们取从t=0开始计数的计数方式，计算过程不需要判断其它情况，若想得到原来计数方式的结果，+1即可

 

 

 

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更加明确的思路

 

约瑟夫环问题就是一群人闲得蛋疼坐在一起玩杀人游戏

编号，从1开始与从零开始的区别在于，从 1 开始就需要对序号是否为 0进行判断，若为零，则该名玩家的序号为当前玩家的人数，即序号为最后

 

举例，这里采用从 0 开始编号

    现有 6人，n = 6

    每数到 2，杀一个人，m = 2 

 

游戏进行如下：

    6人 => 杀一人=> 5人 => 杀一人=> 4人 => 杀一人=> 3人 => 杀一人=> 2人 => 杀一人=> 1人

 

我们需要求解的是，最后活下来的那个人，在游戏开始时的序号是多少

（约瑟夫想活下去）

 

设当有 i 名玩家活着时，约瑟夫的序号为 f(i)，注意每杀一个人我们将死亡玩家的下一位玩家的序号设为 0

若约瑟夫最后活了下来，则 f(1) = 0

需要求解 f(6) 的值

问题的关键在于 f(i+1) 和 f(i) 的关系

0, 1, 2, 3, 4, 5

4, x, 0, 1, 2, 3

2, x, 3, x, 0, 1

0, x, 1, x, 2, x

1, x, x, x, 0, x

x, x, x, x, 0, x

如上，从 f(i+1) 到 f(i)，约瑟夫（每个存活的玩家）的序号 -m)%i，即每杀一个人就 -m并取余当前存活人数 i 保持正值

则 f(i+1) -m = f(i)，即 f(i+1) = ( f(i)+m ) % (i+1)，因为反推，从 i 人反推到 i+1人状态，存活人数为 i+1

这里共杀了 n-1人剩下约瑟夫

 

int n = 6, m = 2;

int t = 0;

for(int i = 1; i <= n-1; ++i) // [1, 5] 

{

    t = (t+m)%(i+1);

}