整数划分问题

递归是很多算法的基础，但是我貌似从来没学好过，所以只能最近刷题来弥补了，哎~

整数划分问题

（经典例题哟~）

题目描述

顾名思义，就是将一个整数分成数个整数之和，而本题则是求总共的划分方案数。

思路

首先，我们可以增加一个递归变量来方便我们找出递归关系，即用p（n，m）来表示正整数n以m为最大加数时的方案数。而此时，n，m又有以下两种关系：n小于m或n大于等于m。
（1） 如果n小于m，但显然n是不能分出比自己本身大的加数，所以此时最大加数只能是n，所以f(n,m)=f(n,n)。
（2） 而n>=m时，n定可以拆分成最大加数是m的加法式，那么又可以分为两种情况：
加式中必定含有m。那么此时可以从n中减去m，然后继续对其拆分的结果即为f(n-m,m)
加式中必不含有m。那么此时最大的加数是m-1，分解的结果也显然为f(n,m-1).
当然，递归必然会有边界条件，此题的边界条件为：
F(n,1)=1表示最大加数为1，此时只有一种分解方案，即n个1相加。
F(1,m)=1表示n=1时只有一种分解方法，此时不管m的值是多大都只能分成1
F(0,m)=1表示n=0时也只有一种分解方法，只能分解成0.

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n,int m)
{//分不同情况对结果进行讨论
    if(n==0||m==0) return 0;
    if(n==1||m==1) return 1;//划分整数或最大加数为1是分解方式为1
    if(n<m) return f(n,n);//当n中不能分解出m是分解方案数同最大加数为n是相同
    if(n==m) return f(n,n-1)+1;//当两数相等时，只需将n分解时最大加数为n-1的种数加上本身一种分解方式加1即可
    return f(n,m-1)+f(n-m,m);//普通情况即最大加数减1的方案数加上从n中减去m的种数
}
int main()
{
    int k;
    cin>>k;
    int s=f(k,k);//从最大加数为k开始分解
    cout<<s<<endl;
    return 0;
}

注意：递归时需格外注意边界，以防递归时栈溢出。