股票交易策略：动态规划详解-优快云博客

每天都有三种「选择」：买入、卖出、无操作，我们用 buy, sell, rest 表示这三种选择。但问题是，并不是每天都可以任意选择这三种选择的，因为 sell 必须在 buy 之后，buy 必须在 sell 之后。那么 rest 操作还应该分两种状态，一种是 buy 之后的 rest（持有了股票），一种是 sell 之后的 rest（没有持有股票）。而且别忘了，我们还有交易次数 k 的限制，就是说你 buy 还只能在 k > 0 的前提下操作。
这个问题的「状态」有三个，第一个是天数，第二个是当前为止使用的交易次数，第三个是当前的持有状态（即之前说的 rest 的状态，我们不妨用 1 表示持有，0 表示没有持有）。然后我们用一个三维数组就可以装下这几种状态的全部组合：

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为到当前为止使用的交易次数
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
    for 1 <= k <= K:
        for s in {0, 1}:
            dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

而且我们可以用自然语言描述出每一个状态的含义，比如说 dp[3][2][1] 的含义就是：今天是第三天，我现在手上持有着股票，至今进行 2 次交易。再比如 dp[2][3][0] 的含义：今天是第二天，我现在手上没有持有股票，至今进行 3 次交易。很容易理解，对吧？

我们想求的最终答案是 dp[n - 1][K][0]，即最后一天，最多允许 K 次交易，最多获得多少利润。读者可能问为什么不是 dp[n - 1][K][1]？因为 [1] 代表手上还持有股票，[0] 表示手上的股票已经卖出去了，很显然后者得到的利润一定大于前者。

在这里插入图片描述
通过这个图可以很清楚地看到，每种状态（0 和 1）是如何转移而来的。根据这个图，我们来写一下状态转移方程：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
              max(   选择 rest  ,           选择 sell      )

解释：今天我没有持有股票，有两种可能：
要么是我昨天就没有持有，然后今天选择 rest，所以我今天还是没有持有；
要么是我昨天持有股票，但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了。

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
              max(   选择 rest  ,           选择 buy         )

解释：今天我持有着股票，有两种可能：
要么我昨天就持有着股票，然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票；
要么我昨天本没有持有，但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了。

这个解释应该很清楚了，如果 buy，就要从利润中减去 prices[i]，如果 sell，就要给利润增加 prices[i]。今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。而且注意 k 的限制，我们在选择 buy 的时候，把 k 减小了 1，很好理解吧，当然你也可以在 sell 的时候减 1，一样的。
现在，我们已经完成了动态规划中最困难的一步：状态转移方程。如果之前的内容你都可以理解，那么你已经可以秒杀所有问题了，只要套这个框架就行了。不过还差最后一点点，就是定义 base case，即最简单的情况

dp[-1][k][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0 。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0 。
dp[i][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。

把上面的状态转移方程总结一下：

base case：
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity

状态转移方程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

买卖股票的最佳时机
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意：你不能在买入股票前卖出股票。
示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
        //dp[i][0][0] = 0;不允许交易利润为0
        //dp[i][0][1] = -infinity;不允许交易持有不可能发生
        //dp[-1][k][0] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //dp[-1][k][1] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //带入k=1; dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0],dp[i-1][1][1]+prices[i]);
        //        dp[i]][1][1] = max(dp[i-1][1][1],dp[i-1][0][0]-prices[i]);
        //因为dp[i-1][0][0] = 0; 所以dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1],-prices[i]);
        //与k无关
        //最终的状态方程为 dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
        //                dp[i][1] = max(dp[i-1][1],-prices[i]);
        int n = prices.length;
        if(n==0)
        return 0;
        int dp_sum0 = 0;
        int dp_sum1 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0;i<n;i++){

          //  dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp_sum0 = Math.max(dp_sum0,dp_sum1+prices[i]);
          //  dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);
          dp_sum1 = Math.max(dp_sum1,-prices[i]);
        }
        return dp_sum0;
    }
}

买卖股票的最佳时机 II
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
        //dp[i][0][0] = 0;不允许交易利润为0
        //dp[i][0][1] = -infinity;不允许交易持有不可能发生
        //dp[-1][k][0] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //dp[-1][k][1] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        // 这里的k趋于正无穷，所以k与k-1相同；改写状态方程为
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
         //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k][0]-prices[i])
         //发现其中的状态k是不发生变化的，所以不记录k的状态
         //dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
         //dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
        int n = prices.length;
        if(n==0)
        return 0;
        int dp_sum0 = 0;
        int dp_sum1 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int tmp = dp_sum0;
            dp_sum0 = Math.max(tmp,dp_sum1+prices[i]);
            dp_sum1 = Math.max(dp_sum1,tmp-prices[i]);
        }
        return dp_sum0;
        
    }
}

最佳买卖股票时机含冷冻期
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
        //dp[i][0][0] = 0;不允许交易利润为0
        //dp[i][0][1] = -infinity;不允许交易持有不可能发生
        //dp[-1][k][0] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //dp[-1][k][1] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //先带入k=infinity; k===k-1;
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k][0]-prices[i])
        //由于k状态相同
        //dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
        //dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
        //由于卖出股票需要锁定一天
        //所以dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-2][0]-prices[i]),这里买入由i-2转移而来
        int n = prices.length;
        if(n==0)
        return 0;
        int dp_sum0 = 0;
        int dp_sum1 = Integer.MIN_VALUE;
        int dp_pre = 0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int tmp = dp_sum0;
            dp_sum0 = Math.max(tmp,dp_sum1+prices[i]);
            dp_sum1 = Math.max(dp_sum1,dp_pre-prices[i]);
            dp_pre = tmp;
        }
        return dp_sum0;
    }
}

买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
        //dp[i][0][0] = 0;不允许交易利润为0
        //dp[i][0][1] = -infinity;不允许交易持有不可能发生
        //dp[-1][k][0] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //dp[-1][k][1] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1 
        //先带入k=infinity; k===k-1;
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k][0]-prices[i])
        //由于k状态相同
        //dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
        //dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
        //带入每次买入需要手续费，
        //dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
        //dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]-fee)
        int n = prices.length;
        if(n==0)
        return 0;
        int dp_sum0 = 0;
        int dp_sum1 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int tmp = dp_sum0;
            dp_sum0 = Math.max(tmp,dp_sum1+prices[i]);
            dp_sum1 = Math.max(dp_sum1,tmp-prices[i]-fee);
        }
        return dp_sum0;               
    }
}

买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
        //dp[i][0][0] = 0;不允许交易利润为0
        //dp[i][0][1] = -infinity;不允许交易持有不可能发生
        //dp[-1][k][0] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //dp[-1][k][1] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //带入k=2；发现没什么可以简化的地方
        int n = prices.length;
        if(n==0)
        return 0;
        int max_k=2;
        int[][][] dp = new int[n][max_k+1][2];
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int k=max_k;k>0;k--){
                if(i==0){
                    dp[i][k][0] = 0;
                    dp[i][k][1] = -prices[i];
                    continue;
                }

                dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i]);
                dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i]);
            }
        }

        return dp[n-1][max_k][0];
    }
}

买卖股票的最佳时机 IV
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2:

输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

class Solution {
    public int maxProfit(int max_k, int[] prices) {
        //dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
        //dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
        //dp[i][0][0] = 0;不允许交易利润为0
        //dp[i][0][1] = -infinity;不允许交易持有不可能发生
        //dp[-1][k][0] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //dp[-1][k][1] = -infinity;时间从第0天开始，不可能为-1
        //这里有一个陷阱，因为完成一次交易需要2天，当2*k>=prices.length时，就转换成了k为无穷的例子
        int n = prices.length;
        if(n==0)
        return 0;
        if(max_k*2>=prices.length){
            return infinityProfit(prices);
        }

        int[][][] dp = new int[n][max_k+1][2];
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int k=max_k;k>0;k--){
                if(i==0){
                    dp[i][k][0]=0;
                    dp[i][k][1]=-prices[i];
                    continue;
                }

                dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i]);
                dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i]);
            }
        }
        return dp[n-1][max_k][0];
    }

    public int infinityProfit(int[] prices){
        int n = prices.length;
        int dp_sum0 = 0;
        int dp_sum1 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int tmp = dp_sum0;
            dp_sum0 = Math.max(tmp,dp_sum1+prices[i]);
            dp_sum1 = Math.max(dp_sum1,tmp-prices[i]);
        }
        return dp_sum0;
    }
}

leetcode股票题解