图论: 差分约束系统

差分约束系统

 

     如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),

 则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的

 特殊不等式组的方法。

　　求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。

　　观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，

 以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s,s与所

 有定点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[ i]}即为一

 组可行解。

    其实我想总结的是: 怎么将实际问题中确定约束条件的符号, 来却定用最长路还是最短路.

    1. 最短路:  d[x] - d[y] >= Z   ==>  d[y] <= d[x]+(-Z)

       spfa算法的判断条件变成: if( dist[edges[e].v] > dist[u]+edges[e].w )

                                    dist[edges[e].v] = dist[u]+edges[e].w

       连边 x->y  权值为-Z, 初始化为源点到个点的距离为INF(无穷大), 源点到源点为0

       目的: 求出最短路满足它们与源点之间的相互差值最大.

 

    2. 最长路:  d[x] - d[y] >= Z   ==>  d[x] >= d[y]+Z

       spfa算法的判断条件变成: if( dist[edges[e].v] < dist[u]+edges[e].w )

                                    dist[edges[e].v] = dist[u]+edges[e].w

       连边 y->x 权值为Z, 初始化为源点到个点的距离为-INF(无穷小), 源点到源点为0

       目的: 求出最长路满足它们与源点之间的相互差值最小.