53、二维回文与排列生成的研究进展

二维回文与排列生成的研究进展

二维回文相关研究

在二维单词的研究中，我们关注的是有限二维单词中回文的数量上限。对于任意字母表 Σ 中的二维单词，研究人员进行了深入的分析。

特定情况分析

在某些特定条件下，如当 (y_{2 + i, n - 3 - i} = 3) 时，会有 (P_{2d}(u_{3 + i \to (n - 3 - i)}) = x_{n - 5 - 2i - 1}) ，且 (z_{3 + i, n - 3 - i} \geq 2) 。若 (z_{3 + i, n - 3 - i} = 3) ，则 (u_{2 + i \to (n - 3 - i)}) 与某种情况中的单词相似；若 (z_{3 + i, n - 3 - i} = 2) ，则 (P_{2d}(u_{3 + i \to (n - 4 - i)}) = x_{n - 6}) ，且 (u_{3 + i \to (n - 4 - i)}) 与另一种情况中的 (u_{2 \to (n - 3)}) 相似。当 (z_{2, n - 2} = 3) 时， (u_{1 \to (n - 1)}) 与特定情况中的 (u_{2 \to (n - 2)}) 相似。

通过对 (\Sigma_{2\times4}) 中单词的直接计算发现，在非二进制字母表上， (x_4 = 9) 个回文的严格界限永远无法达到。因此，对于 (\Sigma_{2\times n}) （ (n \geq 4) ）中的给定单词，最多的回文数出现在二进制字母表上。

回文数量上限

根据相关引理和定理，对于 (w \in \Sigma_{m\times n}) （ (m, n \geq 2)