11、有界自动机群与线性高阶细胞自动机的研究

有界自动机群与线性高阶细胞自动机的研究

有界自动机群相关研究

在自动机群的研究中，有界自动机群是一个重要的研究对象。对于有界自动机群，我们有如下重要结论：每个有限生成的有界自动机群都是co - ET0L的。

首先，对于Σ - 自动机(Γ, v)，设δ = α(Γ,v)。根据Σ - 自动机的定义，对于Td中任意给定的顶点w = w1w2 · · · wk ∈Σ⋆，存在顶点vw ∈V(Γ)，使得δ|w = α(Γ,vw)。由于Γ中的顶点数量有限，所以δ的所有限制集合是有限的。设b = b1b2b3 · · · = spine(δ) ∈Σω为δ的脊柱，存在n, m ∈N（n < m），使得δ|b1b2···bn = δ|b1b2···bn···bm 。由此可得spine(δ) = ι πω，其中ι = b1b2 · · · bn ，π = bn+1bn+2 · · · bm 。

每个有限和有向自动机自同构也是有界的，有界自动机自同构群D(Td)由Fin(Td)和Dir(Td)生成。设G ⊆D(Td)是具有有限对称生成集X的有界自动机群，通过定义映射ϕ : X →(Fin(Td) ∪Dir(Td))⋆ ，使得x =D(Td) ϕ(x) 。设Y是由ϕ(x)的因子及其逆构成的有限对称集合，考虑由Y生成的群H ⊆D(Td) 。

为了证明G是co - ET0L的，我们构造一个cspd机器M来识别coW(H, Y) 。M的执行分为四个阶段：
1. 选择见证顶点v ：如果输入字α是非平凡的，那么存在顶点v ∈Σ⋆，使得α · v ≠ v 。从R = Σ⋆t中随机选择这样的见证顶点v = v1v2 · · · vm ∈Σ⋆并存储