模糊积分与进化算法问题解析

18、设 h 是集合 X 的子集 A 的特征函数，即当 x 属于 A 时，h(x)=1；当 x 不属于 A 时，h(x)=0。那么关于给定的模糊测度 g，h 的（Sugeno 或 Choquet）积分是多少？

可根据相关积分定义来求解。对于 Sugeno 积分 $ S_g(h) $，根据其性质和特征函数的特点，

$$
S_g(h) = \max\left(\min(0, g(X - A)), \min(1, g(A))\right)
$$

因为 $ \min(0, g(X - A)) = 0 $，所以

$$
S_g(h) = \min(1, g(A)) = g(A)
$$

对于 Choquet 积分 $ C_g(h) $，根据离散集的 Choquet 积分计算公式：

$$
C_g(h) = \sum_{i=1}^{n} \left[h(x_{(i)}) - h(x_{(i+1)})\right] \cdot g(A_i)
$$

由于特征函数只有 0 和 1 两个值，假设将集合 $ X $ 排序后，属于 $ A $ 的元素在前，不属于 $ A $ 的元素在后，那么

$$
C_g(h) = 1 \cdot g(A) + 0 \cdot g(X - A) = g(A)
$$

所以 $ h $ 关于模糊测度 $ g $ 的 Sugeno 积分 和 Choquet 积分 均为 $ g(A) $。

19、使用已知的Sugeno测度，并使用相同的输入训练数据重新进行相关示例操作。你需要编写二次规划（QP）程序（或使用Matlab或其他软件包版本）。你能恢复已知的Sugeno测度吗？

解题的大致步骤如下：

1. 明确Sugeno测度的相关理论和性质，它与Choquet积分的学习测度问题有