13、非线性方程求解与样条插值方法详解

非线性方程求解与样条插值方法详解

1. 逐次代换法

逐次代换法是一类用于求解非线性方程迭代解的方法。割线法和牛顿迭代法都是逐次代换法的具体实现。该方法在多个数值算法中被用于求解非线性方程，包括非线性联立方程和微分方程。

1.1 基本原理

若待求解方程可表示为 (f(x) = 0)，则可将其改写为 (x = g(x))。在迭代方法中，可定义为 (x_n = g(x_{n - 1}))，其中 (n) 为迭代步数，(x_0) 为初始估计值。逐次代换法也被称为定点迭代法。

1.2 收敛条件

然而，该方法存在一个明显的缺点，即并非在所有情况下都能收敛到既定形式。为解决这一问题，需满足条件 (|g’(x)| < 1)。

1.3 另一种形式

确定 (g(x)) 的一种系统替代方法是建立关系 (x_n = x - \alpha f(x))，转换到迭代环境中为 (x_n = x_{n - 1} - \alpha f(x_{n - 1}))，其中 (\alpha) 为常数，可通过将相关方程代入来确定。迭代收敛的条件为 (-1 < 1 - \alpha f’(x) < 1)，即 (0 < \alpha f’(x) < 2)。这表明 (\alpha) 与 (f’) 需同号，且当 (\alpha) 接近 (1/f’) 时，可达到最优收敛速度。

1.4 示例

考虑一个简化的临界性方程 (\tan(0.1x) = 9.2e^{-x})，为估计 (f’) 在 (x) 介于 3 和 4 之间的值，计算 (f’=\frac{f(4) - f(3)}{4