还是畅通工程(并查集 + 图论 + prim/Kruskal(详细) + 最小生成树 + 最短路)

原题链接

Problem Description

某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

Output

对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

Sample Input

3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
4
1 2 1
1 3 4
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 4 5
0

Sample Output

3
5

最小生成树

• G= (V，E)，若G的一个生成子图是一棵树，则称之为G的一棵生成树(记为T)。
• 最小生成树:无向图G的所有生成树中，树枝的权值总和最小的称为G的最小生成树

prim算法

• 算法思想：将各个点一一加入树中

• 具体做法：

• 先选择一个顶点作为树的根节点，把这个根节点当成一棵树

• 选择图中距离这棵树最近但是没有被树收录的一个顶点，把他收录在树中，并且保证不构成回路

• 按照这样的方法，把所有的图的顶点一一收录进树中。

• 如果没有顶点可以收录：

  ①如果图中的顶点数量等于树的顶点数量–>最小生成树构造完成

  ②如果图中的顶点数量不等于树的顶点数量–>此图不连通

对于上图，依次将元素1 -> 3 -> 6 -> 4 -> 2 -> 5加入集合可得到其最小生成树为：

再如使用prim算法的思想，依次将a -> b -> c -> i -> f -> g -> h-> d -> e点加入集合中，可构成如下图所示最小生成树：

Kruskal算法

• kruskal算法思想:
• 贪心: 先将所有的点加入集合，然后依次选取最短的边来组成一棵最小的生成树。n个顶点共有n - 1条边。
• 具体做法:
  ①将n个顶点看成n个集合。
  ②按权值由小到大的顺序选择边(先按照权值排序)，且所选边应满足两个顶点不在同一个顶点集合内(不构成回路),将该边放到生成树边的集合中。同时将该边的两个顶点所在的顶点集合合并。
  ③重复②，直到所有的顶点都在同一个顶点集合内。
  ④可以使用并查集判断两个顶点是否在同一个顶点集合内

例，对于上图，使用Kruskal算法(依次加入边1-3，4-6，2-5，3-6，2-3)，可以构成如下图所示的最小生成树：

样例分析

• 样例1 输出1 + 2 = 3

• 样例2 输出1 + 1 + 3 = 5
  

由以上两图不难发现，计算最小的公路总长度，采用Kruskal算法构建最小生成树即可

AC代码(kruskal算法)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 105;
const int M = 5010;
int parent[N];//disjoint set

struct edge
{
   
   
    int a;//village a
    int b;//village b
    int dis;//distance of a and b
}nums[M];

bool cmp(edge u,edge v)
{
   
   
    return u.dis < v.dis